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『高中數(shù)學』關(guān)于穿針引線法，你需要知道這些

2022-11-06 02:42 作者:げいしも_蕓 0人讀過 | 我要投稿

首先，我們先來介紹一下穿針引線法：

對于一關(guān)于 $x$ 的有理分式 $%5Cfrac%7BP_m(x)%7D%7BQ_n(x)%7D$ ，其中 $m%2Cn$ 表示多項式最高次項次數(shù)， $P_m(x)%E4%B8%8EQ_n(x)$ 的最高項次項系數(shù)均為正數(shù)

記 $P_m(x)%3D0$ 的零點為 $p_1%2Cp_2%2C...%2Cp_m$ ， $Q_n(x)%3D0$ 的零點為 $q_1%2Cq_2%2C...%2Cq_n$

將所有零點在數(shù)軸上標出，并從右上角開始，引出一根線，穿過每一個零點，同時從數(shù)軸上（下）方移動到下（上）方。注意：若該零點的重數(shù)為偶數(shù)，則無法穿過，若為奇數(shù)，則可以穿過

最終會得到這樣一張圖（以

$P(x)%3D(x-2)%5E2(x%2B1)%EF%BC%8CQ(x)%3D(x-3)(x%2B2)%5E3$ 為例）：

這張圖告訴我們：有理分式

$u%3D%5Cfrac%7BP(x)%7D%7BQ(x)%7D%3D%5Cfrac%7B(x-2)%5E2(x%2B1)%7D%7B(x-3)(x%2B2)%5E3%7D$

$%E5%9C%A8(-2%2C-3)%5Ccup(3%2C%2B%E2%88%9E)%E4%B8%8A%2Cu%3E0%EF%BC%8C%E5%9C%A8(-%E2%88%9E%2C-2)%5Ccup(-1%2C2)%E4%B8%8A%2Cu%3C0$

那么，這是為什么？為什么穿針引線法有這種作用？

原理介紹

首先，我們要知道這幾點：

1. 當x的值充分大時，關(guān)于x的多項式（最高次項系數(shù)大于零）的值總是正數(shù)

2. 若 $x%3Dx_0$ 時多項式的值為0，那么 $x%3Cx_0%E6%97%B6%E7%9A%84%E5%80%BCf_1%E4%B8%8Ex%3Ex_0%E6%97%B6%E7%9A%84%E5%80%BCf_2$ 的正負關(guān)系與多項式在 $x%3Dx_0$ 時該根的重數(shù)有關(guān)，即：

$%E5%BD%93x_0%E7%9A%84%E9%87%8D%E6%95%B0%E4%B8%BA%E5%81%B6%E6%95%B0%E6%97%B6%EF%BC%8Cf_1%E4%B8%8Ef_2%E5%90%8C%E5%8F%B7%EF%BC%8C%E5%BD%93x_0%E7%9A%84%E9%87%8D%E6%95%B0%E4%B8%BA%E5%A5%87%E6%95%B0%E6%97%B6%EF%BC%8Cf_1%E4%B8%8Ef_2%E5%BC%82%E5%8F%B7$

知道了這兩點，就不難推出穿針引線法

那么，對于一有理分式

$u%3D%5Cfrac%7BP(x)%7D%7BQ(x)%7D%EF%BC%88P(x)%E4%B8%8EQ(x)%E6%9C%80%E9%AB%98%E6%AC%A1%E9%A1%B9%E7%B3%BB%E6%95%B0%E5%9D%87%E4%B8%BA%E6%AD%A3%EF%BC%89$ ，我們有如下結(jié)論：

當x的取值充分大時，P(x)>0且Q(x)>0，故 $%5Cfrac%7BP(x)%7D%7BQ(x)%7D%3E0$

每當x經(jīng)過一個零點x_0，若x_0的重數(shù)為奇數(shù)，則u變號，若x_0的重數(shù)為偶數(shù)，則u不變號

于是，我們便可以標記有零點的數(shù)軸右上角開始（此時u>0），并依次穿過所有零點，每當穿過一個零點時，u的符號視x_0的重數(shù)決定是否改變

根據(jù)這種作圖方式，便能夠做出上圖，而這圖表明：線在數(shù)軸以上對區(qū)間內(nèi)，u>0；線在數(shù)軸以下的區(qū)間內(nèi)，u<0（這兩個區(qū)間均為開區(qū)間）

至此，便是穿針引線法的原理介紹，穿針引線法常被用于求已知某一有理分式的正負時，自變量的取值范圍，使用一般方法步步求解十分浪費時間，而使用穿針引線法則可以事半功倍，這也是大多數(shù)老師選擇這個方法的原因之一

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