在上高中的時候，我們都在數(shù)學(xué)書上學(xué)過利用祖暅原理證明球的體積，然而這種方法的弊端便是構(gòu)造起來并不容易，并且很難推廣到任意維度的情況下。

于是我們有了積分的知識以后，通過積分我們就可以比較輕松地得到三維球體積表達式：

再探索四維球體的體積時我們也可以用類似的方法得到其體積公式：

為什么系數(shù)含有圓周率的平方？對更高維的球又應(yīng)該是什么樣的？這篇文章的目標(biāo)就是用歐拉積分簡潔易懂地證明任意維度情況球的體積公式。

這次的專欄一半也是因為3B1B的視頻后留的“小作業(yè)”，不過這個證明并不需要用到正態(tài)曲線的相關(guān)知識。

一、建立表面積與體積的關(guān)系

首先，我們觀察兩組式子：

這里，我們把二維球視為圓，二維球的體積視為其面積，二維球表面積視為其周長。

通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，對于二維和三維的球，表面積均為體積關(guān)于半徑的導(dǎo)數(shù)。

我們首先考慮一個圓，將其分割為多個小圓環(huán)，并讓每個圓環(huán)的寬趨向于0，如圖：

我們假設(shè)圓的“表面積”（為了統(tǒng)一起來，就都這么表述了）為，則圓環(huán)面積為，由此我們對圓環(huán)面積從0到R（被分割圓的半徑）上求和：

反過來，自然有：

而這個規(guī)律也可以推廣到任意維度的球，如三維球便可以分割為多個同心球殼。四維球？雖然我們不知道它的樣子，但因為球的性質(zhì)，我們?nèi)钥梢园哑浞纸鉃槎鄠€同心四位球殼......

二、嘗試求解三維球與四維球的體積

這里我們先借用一下3B1B視頻中分割正態(tài)曲面的方法：

在這里，我們將看作一個整體，記為r，并將這個圖形分解成了多個空心圓柱的體積之和，通過求和得到了其體積。

類似地，我們也可以將球體體積分為多個空心圓柱體積之和，我們?nèi)粤睿?/p>

類似地，圓柱的寬記為dr，根據(jù)球體對應(yīng)的二元函數(shù)解析式，我們得到積分：

這里R指球體的半徑，由于r的范圍是從0到R，故積分的上下限便可以確定，通過這個積分，我們很容易可以解得（直接湊微分就行）：

對應(yīng)表面積(體積的導(dǎo)數(shù))：

同理，我們也可以將四位球體分為許多空心球柱（暫且這么叫著），類似地我們發(fā)揮推理的的力，原來圓的周長就變?yōu)榱饲虻谋砻娣e，于是我們也可以寫出積分：

這里運用三角換元來求出這個積分的解，最后結(jié)果就是我們前文所說的

對應(yīng)表面積：

這樣，我們就已經(jīng)寫出了三維及四維球體的體積與表面積表達式。

三、推廣到任意維度的情況

為了方便表述，我們先定義幾個符號：

：n維球體積

：n維球表面積

：n維球表面積系數(shù)

對系數(shù)，我們可以定義為：

首先我們設(shè)，根據(jù)剛才的推理，我們可以得到通解：

經(jīng)過變換，由于為常數(shù)，因此可以直接扔到外面去，于是：

單獨考慮積分內(nèi)部的東西：

三角換元(這里令r=Rsinx)：

我們注意到貝塔函數(shù)的三角形式：

因此

推得：

這里考慮到n與n-3的奇偶性不同，因此我們把奇數(shù)與偶數(shù)分開討論

（以下式子默認(rèn)n≥3）

因此：

對其求導(dǎo)：

因此我們可以分離出系數(shù)：

因此我們再設(shè)一個函數(shù)：

因此對數(shù)列，我們有：

由圓的周長可以得到：

因此

整理得（這一步就是分奇偶兩種情況寫出來，然后可以進行約分，有時間的自己可以算算...）

逆推回表面積：

積分得到體積：

整理合并合并得到最終結(jié)果：

四？？？

根據(jù)這個結(jié)論，我們可以得到一些有意思的東西：

-1維球體積隨半徑的增大而減小，表面積是負值，絕對值也隨半徑的增大而減小。

這個規(guī)律對于-1，-5，-9......維的球是成立的

但是對于其他負奇數(shù)便是另一種情況，拿-3維為例：

其體積是負值，表面積是正直，且二者的絕對值均隨半徑的增大而減小。

而對于所有負偶數(shù)，其表面積體積都趨于0......

并且如果可以計算的話，你可以求出任何一個維度（除了負偶數(shù)）下的球體體積與表面積，e維，π維，甚至是i維！

這大概是相當(dāng)于一個解析延拓的效果？？？

最后，也感謝3B1B為我提供的新思路（這里附上原視頻地址）

如果存在錯誤，請指出，不勝感謝！