整理史濟(jì)懷老師視頻課中關(guān)于常微分方程的內(nèi)容，然后聊“邊際替代率”。

part 1 史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分

&2.一階微分方程

一階微分方程——形如F（x，y，y'）=0的關(guān)系式——y為未知函數(shù)，x為自變量，含有y的一階導(dǎo)數(shù)的方程。

&2.3一階線性方程

先把之前聊過的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下——

線性方程——顧名思義，就是里面每一個(gè)含未知量x的項(xiàng)都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說是微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。

依然按照從簡單到復(fù)雜的順序，最簡單的線性方程是一階線性微分方程，所以我們就從這種類型開始了。

一階線性微分方程——即只含有一階導(dǎo)數(shù)的線性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程?！浑A線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——Q（x）恒為0；

非齊次方程——Q（x）不恒為0。

注意：

1. 這里的齊次方程不要和之前的齊次方程混淆，是兩個(gè)完全不同概念；

2. 非齊次方程的解可由齊次方程的解獲得，所以先解決齊次方程的解即可。

一階齊次線性方程的通解——

1. dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——變量分離的方程，兩邊取積分；

2. ln |y|=-∫?P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫?P（x）dx）——其中C的取值取決于C1，C=e^C1或C=-e^C1。

   注意——綠字部分的解是要背下來的。

一階非齊次線性方程的通解——常數(shù)變易法：利用齊次方程的通解y=Ce^（-∫?P（x）dx）——（重點(diǎn)?。?！）——

1. 方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒為0；

2. 將齊次方程通解中C換成未知函數(shù)u（x），即y=ue^（-∫?P（x）dx）；

3. 由2得dy/dx=u'e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）；

4. 將2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫?P（x）dx）=Q（x）；——注意到綠色部分可以消去；

5. 由4解出u（x）——

   u‘e^（-∫?P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫?P（x）dx），

   u=∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C；

6. 將5代入2中，y=e^（-∫?P（x）dx）（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C）；

7. 將6中式子改寫得到，y=Ce^（-∫?P（x）dx）+[e^（-∫?P（x）dx）]（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx）；

   注意：

   1.第一項(xiàng)（紅色部分），為齊次線性方程的通解；

   2.第二項(xiàng)（綠色部分），為非齊次線性方程的一個(gè)特解（C=0時(shí)）。

例子下次說！

part 2?經(jīng)濟(jì)學(xué)概念——高鴻業(yè)

高鴻業(yè)《西方經(jīng)濟(jì)學(xué)》第三章：效用論——

引入了效用的概念——

效用——效用是指對商品滿足人的欲望的能力評價(jià)，或者說，效用是指消費(fèi)者在消費(fèi)商品時(shí)，所感受到的滿意程度。——一種主觀心理評價(jià)。

效用的度量——

1. 基數(shù)效用論：邊際效用分析方法——“效用單位”：表示效用大小的計(jì)量單位。

2. 序數(shù)效用論：無差異曲線分析方法——效用不可以具體度量，只能排序。

邊際替代率（MRS）——在維持效用水平不變的前提下，消費(fèi)者增加一單位某種商品的消費(fèi)數(shù)量時(shí)所需要放棄的另一種商品消費(fèi)數(shù)量，被稱為商品的邊際替代率。

商品1對商品2的邊際替代率公式——

MRS12=-ΔX1/ΔX2——ΔX1和ΔX2分別為商品1和商品2的變化量，負(fù)號因?yàn)閮煞N商品變化是相反的，為了保證結(jié)果是正數(shù)，所以加上負(fù)號；

ΔX1趨向于0時(shí)，公式為——MRS12=-lim ΔX1/ΔX2=-dX1/dX2——無差異曲線上某一點(diǎn)的邊際替代率就是無差異曲線在該點(diǎn)的斜率的絕對值。

邊際替代率遞減規(guī)律——在維持效用水平不變的前提下，隨著一種商品的消費(fèi)數(shù)量的連續(xù)增加，消費(fèi)者為得到每一單位的這種商品所需要放棄的另一種商品的消費(fèi)數(shù)量是遞減的。

原因——隨著一種商品的消費(fèi)數(shù)量的逐步增加，消費(fèi)者想要獲得更多的這種商品的愿望就會遞減，從而，他為了多獲得一單位的這種商品而愿意放棄的另一種商品的數(shù)量就會越來越少。

幾何意義——

1. 在連續(xù)的意義上，邊際替代率遞減規(guī)律決定了無差異曲線的斜率的絕對值是遞減的，即無差異曲線是凸向原點(diǎn)的；

2. 離散的角度上，當(dāng)消費(fèi)者沿著既定的無差異曲線由a運(yùn)動到b點(diǎn)時(shí)，商品1的增加為ΔX1，商品2的減少量為ΔX2，這兩個(gè)變量的比值的絕對值-ΔX1/ΔX2，就是由a點(diǎn)運(yùn)動到b點(diǎn)的MRS12。
   

明天繼續(xù)！