#練習(xí)生打卡

1.回扣這部分主題。即換序問題，或者說函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的分析性質(zhì)可不可以利用逐項(xiàng)求。

2.金牌例子：x^n。此處用它來說明一致收斂不是Cauchy說的那句話成立的必要條件。

（Cauchy說的那句話：若連續(xù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則和函數(shù)也連續(xù)）。

3.探求限制在閉區(qū)間上，一致收斂是不是必要條件，這就是函數(shù)列的Dini定理。

證明：思路跟Heine—Cantor定理證明思路如出一轍，也是用有限覆蓋定理。

Heine—Cantor定理說的是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則一致連續(xù)。目標(biāo)是找一致的δ。

Dini定理是說閉區(qū)間上函數(shù)列連續(xù)，且極限函數(shù)連續(xù)，且｛fn(x)｝單調(diào)，則函數(shù)列一致收斂于極限函數(shù)。目標(biāo)之一是找一致的N。原理是由于連續(xù)，會讓x變化時(shí)收斂速度趨同。

具體操作：先是令φn(x)=fn(x)–f(x)（→0），也是之前反復(fù)用的方法。

然后可以不用單調(diào)這一條，只結(jié)合連續(xù)，用有限覆蓋定理找到共同的N，得到｜φNx?｜＜ε，實(shí)際上推出了準(zhǔn)一致收斂。

最后跟單調(diào)一結(jié)合，得到｜φn｜＜ε，推得一致收斂。

4.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的Dini定理。

把函數(shù)列情況轉(zhuǎn)到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，Sn單調(diào)，即對應(yīng)fn定號。

5.Arzelà定理。

即若逐項(xiàng)連續(xù)，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)連續(xù)性的充要條件是準(zhǔn)一致收斂。

必要性在去掉單調(diào)以后即Dini定理。充分性思路同極限函數(shù)的連續(xù)性。只是把[a,b]分成若干小區(qū)間（分別覆蓋于某個(gè)開區(qū)間），然后在小區(qū)間內(nèi)討論。準(zhǔn)一致收斂下各小區(qū)間的情況跟一致收斂下整個(gè)區(qū)間的情況完全相同。

6.我現(xiàn)在對于準(zhǔn)一致收斂的理解是：一致收斂是說找到滿足條件（?n＞N，｜fn(x)–f(x)｜＜ε）的統(tǒng)一的(不依賴x的)N。但現(xiàn)在不需要，退而求其次，只需存在一個(gè)統(tǒng)一的(不依賴x的)N'，使得N'之前的某項(xiàng)fn?滿足｜fn?(x)–f(x)｜＜ε即可。

7.逐項(xiàng)積分定理。一致收斂是充分條件，非必要條件。

8.可惜的Arzelà控制收斂定理。