本文總結(jié)了一種在一階近似條件下計算化學(xué)反應(yīng)體系平穩(wěn)分布時協(xié)方差矩陣的一種一般性方法。

化學(xué)反應(yīng)的個數(shù)形式

• 如果我們直接有個數(shù)形式的化學(xué)反應(yīng)體系，那么就可以直接看作一個Markov跳過程寫出化學(xué)主方程了。

• 如果我們一開始拿在手上的是濃度形式的化學(xué)反應(yīng)體系，那么寫成個數(shù)形式時，需要：1.把系數(shù)除以V的某個次冪使之無量綱化；2.原來的比如c^3項要變成n(n-1)(n-2)。

近似為化學(xué)Langevin方程

有了個數(shù)形式的化學(xué)反應(yīng)，我們就可以按照化學(xué)主方程的二階展開得到化學(xué)Langevin方程。（關(guān)鍵詞：連續(xù)近似/擴散近似，Kramers-Moyal展開，Pawula定理，這些不再贅述）

但是我們不需要每次都大動干戈地展開，因為有現(xiàn)成的結(jié)論，如下所述。

我們希望有一個SDE：

那么其中的漂移系數(shù)和擴散系數(shù)都是什么樣子呢？技巧：我們要按一個個分量去寫。

漂移系數(shù)顯然就是確定性O(shè)DE的樣子。擴散系數(shù)則是把漂移系數(shù)中每一項反應(yīng)的速率部分開根號，在乘上一個獨立白噪聲（即，每個反應(yīng)都有一個獨立的噪聲）。物理意義很明顯：漲落是O(1/sqrt(N))級別的。所以得到的SDE就是：

不過要注意到：只要擴散矩陣

一樣，系統(tǒng)就是一樣的（分析角度，看Kolmogorov方程，或者叫無窮小生成元）。所以右邊的白噪聲可以有不同的形式，不同文獻上會不一樣，比如像system size expansion里面其實也是等價的。

上面這種直接寫出近似的化學(xué)Langevin方程的步驟很容易出偏差，而且Gillespie的原文獻里面（[3]）的寫法也比較混亂。所以我以前都是用Kramers-Moyal展開從頭推導(dǎo)的。但是現(xiàn)在要學(xué)會這種直接寫的方法。

漲落耗散定理

化學(xué)Langevin方程一般而言是非線性的，我們還是什么都干不了。不過我們可以在不動點附近做線性展開，得到OU過程。OU過程的不變分布（Gaussian）的協(xié)方差矩陣滿足Lyapunov方程：

B為漂移系數(shù)，A為擴散矩陣。

附帶一提，OU過程可逆的充要條件是

用ODE能直接求解平穩(wěn)分布的均值。有了Lyapunov方程，我們就可以直接求解平穩(wěn)分布的協(xié)方差矩陣。這樣平穩(wěn)分布的前兩階就完全清楚了。

從物理圖像上看看這個Lyapunov方程都做了些什么。它完全刻畫了系統(tǒng)在平穩(wěn)狀態(tài)下的協(xié)方差矩陣，也就是說，每個物質(zhì)的濃度漲落（噪聲）以及不同物質(zhì)濃度之間的關(guān)聯(lián)。[5]中Paulsson通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)不同物質(zhì)之間的噪聲會滿足一定的不確定性關(guān)系（"Poisson hypercude"），其中在擴散近似下的證明用的就是這個Lyapunov方程。

Paulsson把這個Lyapunov方程叫做漲落耗散定理。我不知道他是否知道這個漲落耗散定理是可以從OU過程這種線性近似的角度直接推出的；他的文章里通常把它作為直接的物理假設(shè)，SSE這種linear noise approximation的推論，或者化學(xué)主方程的推論。至于漲落耗散定理這個名字，本來就是泛指統(tǒng)計物理里面的一大類定理。為什么這個Lyapunov方程叫漲落耗散定理，我的理解是：\Xi就是平穩(wěn)態(tài)的漲落，A和B（特別是A）則表示系統(tǒng)對外加微小擾動的響應(yīng)特性，即耗散。Lyapunov定理把二者聯(lián)系在一起。漲落和耗散本質(zhì)上起源于同一個東西，即相互作用。漂移的力度越強，即收斂到穩(wěn)定點的力度越強（B不變，相對來說就是耗散越?。?，漲落越小，即平穩(wěn)分布時方差越小。

參考文獻

[1]Schnoerr D, Sanguinetti G, Grima R. The complex chemical Langevin equation[J]. The Journal of chemical physics, 2014, 141(2): 07B606_1.

[2]Qian H. Nonlinear stochastic dynamics of mesoscopic homogeneous biochemical reaction systems—an analytical theory[J]. Nonlinearity, 2011, 24(6): R19.

[3]Gillespie D T. The chemical Langevin equation[J]. The Journal of Chemical Physics, 2000, 113(1): 297-306.

[4]Paulsson J. Models of stochastic gene expression[J]. Physics of life reviews, 2005, 2(2): 157-175.

[5]Yan J, Hilfinger A, Vinnicombe G, et al. Kinetic Uncertainty Relations for the Control of Stochastic Reaction Networks[J]. Physical Review Letters, 2019, 123(10): 108101.

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