數(shù)量關系筆記整理
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倍數(shù)特性核心公式:
????① 若A:B =m:n（m、n互為質整數(shù)），則A是m的倍數(shù)，B是n的倍數(shù)，的（B÷n）倍
????②若A:B:C=m:n:p，則A是m的倍數(shù)，B是n的倍數(shù)，C是p的倍數(shù), A+ B+C是m +n +p的倍數(shù)。
倍數(shù)特性四大應用：
????①當條件中出現(xiàn)比例：m:n或m:n:p
????②當條件中出現(xiàn)分數(shù)：
????③當條件中出現(xiàn)百分數(shù)：%
????④當條件中出現(xiàn)倍數(shù)：n倍?
倍數(shù)特性兩點注意：
????① 2、4、5、8不適用，除非明確告知是整數(shù)倍
????② 不考慮小數(shù)點
整除特性：
????①能被3或9整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和能被3或9整除;
證明：abc=100a+10b+c
????????????????=99a+9b+(a+b+c)
????②能被2或5整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的末一位數(shù)字能被2或5整除；
證明：因為10能被2和5整除，所以只用控制個位能被整除即可
????③能被4或25整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的末兩位數(shù)字能被4或25整除;
證明：因為100能被4和25整除，所以只用控制末兩位能被整除即可
????④能被8或125整除的數(shù)的特征是這個數(shù)的末三位數(shù)字能被8或125整除；
證明：因為1000能被8和125整除，所以只用控制末三位能被整除即可
????⑤能被6整除的數(shù)的特征是這個數(shù)能同時被2和3整除；
證明：因為6可以質數(shù)分解為2和3
? ? ⑥能被7、11或13整除的數(shù)的特征是未三位數(shù)字與未三位之前數(shù)字之差的絕對值能被7、11或13整除。
證明：abcde=ab×1000+cde
????????????????????=ab×1001+(cde-ab)
????1001=7×11×13
余數(shù)特性
一、余數(shù)的基本概念
①若A÷B=Q…….R（A稱為被除數(shù)，B稱為除數(shù)，Q稱為商，R稱為余數(shù)）
②A=B×Q+R(被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)）
③R<B（余數(shù)小于除數(shù)，余數(shù)的最大值為B-1)
二、余數(shù)基本運算：
余數(shù)加法定理：若A?C=Q1……R1，B?C=Q2……R2
則（A+B）?C的余數(shù)為（R1+R2）?C的余數(shù)
三、同余定理
余同取余，和同加和，差同減差，最小公倍數(shù)做周期
例:余同取余? x?4.....1;x?5.....1 則x=20n+1
和同加和??x?4.....3;x?5.....2 則x=20n+7
差同減差??x?4.....1;x?5.....2 則x=20n-3
植樹問題：
單邊線性植樹：棵樹=總長÷間隔+1，總長=（棵樹-1）×間隔；
樓間植樹：棵樹=總長÷間隔-1，總長=（棵樹+1）×間隔；
單邊環(huán)形植樹：棵樹=總長÷間隔，總長=棵樹×間隔；
注意：區(qū)分題干中是馬路單邊植樹還是馬路雙邊植樹
剪繩問題：在繩子中間剪N刀，能得到(N+1)段
日期時間常識
普通閏年：年份是4的倍數(shù)且不是100的倍數(shù)
世紀閏年：年份是400的倍數(shù)
錯位重排問題
????錯位重排問題又稱錯裝信封問題，該問題表述如下：
????編號是1、2、...、n的n封信，裝入編號為1、2、...、n的n個信封，要求每封信和信封的編號不同，又多少種裝法？
????對這類問題有個固定的遞推公式
????實際應用中也可以只記住前5項
集合容斥問題
????三集合的覆蓋面積=三圓面積和-重疊一次的面積-2倍重疊兩次的面積
????三集合覆蓋面積=三圓形面積的和-兩兩相交的面積+三個都覆蓋的面積
????設全體的數(shù)量為m，全體之下的幾何分別為A、B、C、D...，并用a、b、c、d...表示每個集合的數(shù)量，則有(最小值集合盡量少的相交)：
循環(huán)賽
單循環(huán)賽：每支隊伍都要和其他隊伍進行一次比賽，N支隊伍的總場次是
雙循環(huán)賽：每支隊伍都要和其他隊伍進行兩場比賽（分主場和客場），N支隊伍的總場次是
單場淘汰賽：比如8人，8進4的淘汰賽、4進2的淘汰賽、2進1的淘汰賽
方陣
????若正方形方陣一邊人數(shù)是N，長方形方陣兩邊人數(shù)分別為M、N則
正方形實心方陣的總人數(shù)是N×N，長方形實心方陣的總人數(shù)為M×N
正方形方陣最外層人數(shù)4N-4，長方形方陣最外層人數(shù)2（M+N）-4
方陣相鄰兩層相差8人
拿牌問題
????第一次拿完牌后，恰好湊成最大最小之和的倍數(shù)，才能保證第一次拿的人，最后以此也能拿到
球體的體積公式
球的面積公式
圓錐體的體積公式
圓錐的面積公式
圓周角定理：直徑所對的圓周角是直角
結論：過圓心且垂直于圓面的直線上的點，到圓周的距離都相等
應用：
????例：水平面上的三點A、B、C。A在B的正北方,C在B的正東方，AC相距600m，空中無人機同時與A、B、C三點相距500m時。求無人機的飛行高度。
????根據(jù)結論可知道高度為400m
質數(shù)又叫做素數(shù)：只可以被1和自身整除
合數(shù)：除了1和自身，還能被其他整數(shù)整除
約數(shù)個數(shù)理論：如果一個合數(shù)X分解質因數(shù)形式為則該合數(shù)的約數(shù)個數(shù)=（m+1）(n+1)(l+1)...
所有整數(shù)中，完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)，其他整數(shù)的約數(shù)個數(shù)為偶數(shù)
等比數(shù)列求和公式
平均數(shù)大小比較
平方平均數(shù)≥算術平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調和平均數(shù)
以兩個正數(shù)x、y為例，，當且僅當x=y時等號成立。證明過程
年齡問題優(yōu)先使用代入排除法
12×15=180
12×25=300
? ??極值蒙題：問最大，蒙最大；問最小，蒙次小或最大
? ? 3+1蒙題：題型識別：3+1（3項等差|等比+1項特殊）蒙接近"特殊項"數(shù)字選項
例 A、25????B、35????C、36????D、45
????迷惑項蒙題：如果你是命題人，你會怎么設計選項？
例：甲和乙一共是30元，且甲大于乙，求甲是多少錢？
A、5????B、12、????C、18????D、28
思路：出題思路12+18=30,12可能是乙作為迷惑項，18可能是甲
找共性蒙題：找選項間共性最多的選項（取同、去異）
常識蒙題：生活常識、計算常識（大數(shù)-小數(shù)=正數(shù)）
區(qū)間問題：一般選第三段
幾何問題蒙題：求邊長、棱長、半徑一般蒙整數(shù)的選項
三量問題（工程、行程等問題v、t、s）：注意通過倍數(shù)等細節(jié)關系
獨奇獨偶：3奇1偶選偶數(shù)；3偶1奇選奇數(shù)
概率問題：發(fā)生的概率和不發(fā)生的概率和是1
一般題目中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)不會出現(xiàn)在正確選項中
蝴蝶定理在平行四邊形中的應用
應用例題：可以快速的計算出結果為12
