正多邊形的不尋常作圖法（中-1）

一．13邊形

第一種作法

1.?如圖作圓O，y軸正方向半徑OK0=12/sqrt(26-6*sqrt(13))。

2.?x正半軸截取OA=1，過點A作斜率為-3*sqrt(3)/5的直線l，同y軸交于B。

3.?作半徑為3+sqrt(13)的圓A，與x正半軸交于，與l交于D。

4.?直尺繞D點轉(zhuǎn)動，同圓A交于F，同x軸交于G。直到FG=AD（角OAF=1/3*角DAC)，則從F點引x軸垂線，交下半圓O于K4。那么，圓O的弧K0K4是4/13個圓周。

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原理：sin(18*pi/13)是方程x^3-sqrt(26-6*sqrt(13))/4*x^2-sqrt(13)/4*x+sqrt(26+6*sqrt(13))/16=0三個實根唯一為負值者，很輕易推算出其值為(sqrt(26-6*sqrt(13))-(20*sqrt(65+18*sqrt(13))+12*sqrt(-195-54*sqrt(13)))^(1/3)-(20*sqrt(65+18*sqrt(13))-12*sqrt(-195-54*sqrt(13)))^(1/3))/12。進一步轉(zhuǎn)換，12*sin(18*pi/13)=sqrt(26-6*sqrt(13))*(1-(3+sqrt(13))*cos((arctan(sqrt(27/25)))/3))。而18*pi/13等價于順時針轉(zhuǎn)4/13個圓周。

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第二種作法

1.如圖作圓O，x軸正方向半徑OA0=12，直徑AA0=24。

2.OA0中垂線l，交x軸于B，自l截取BC=sqrt(39)+sqrt(3)。

3.從線段OB截取線段OD=-1+sqrt(13)，并作過C點的圓D。

4.直尺繞C點轉(zhuǎn)，同x軸交于F，同圓D交于E。直到EF=CD（角EDA=1/3*角A0DC），則延長EF同圓D交于G。

5.從G點引x軸垂線并交圓O于A1、A12。A1A0和A0A12都是圓O內(nèi)接正13邊形邊長。

注：這是英文維基百科演示的13邊形繪制方法。

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原理：cos(2*pi/13)是方程x^3-(-1+sqrt(13))/4*x^2-1/4*x-(3-13*sqrt(13))/16=0三個實根最大者，其值為(-1+sqrt(13)+(104-20*sqrt(13)+12*sqrt(-39))^(1/3)+(104-20*sqrt(13)-12*sqrt(-39))^(1/3))/12。進一步轉(zhuǎn)換，12*cos(2*pi/13)=-1+sqrt(13)+2*sqrt(26-2*sqrt(13))*cos(arctan((5*sqrt(3)+2*sqrt(39))/9)/3)。上述作圖，利用勾股定理，作出了斜邊為2*sqrt(26-2*sqrt(13))的直角三角形，長直角邊對應的角的正切值正好是(5*sqrt(3)+2*sqrt(39))/9=(sqrt(39)+sqrt(3))/(6-(-1+sqrt(13)))。三等分這個角是作正13邊形的關(guān)鍵。

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第三種作法

1.如圖作半徑為3的圓O，與x軸正半軸交于A0，并從A0引x軸垂線l。

2.l上向上截取A0T=sqrt(65+18*sqrt(13))。再作圓T其半徑為2*sqrt(26+6*sqrt(13))，同l交于M、N上下兩點。

3.從T點引入一條斜率為-sqrt(25/27)的直線m，同右半圓T交于U。

4.直尺繞著U轉(zhuǎn)，同右半圓T交于R，同l交于S，直到RS=TU，從R引出l的垂線，交l于F。

5.連接OF同圓O交于A3，此時角A0OA3=3*(360/13)°。

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原理：tan(6*pi/13)=sqrt(65+18*sqrt(13))+2*sqrt(26+6*sqrt(13))*cos(1/3*arctan(sqrt(27/25)))。

還有其他作法，大家可自由想象，只要不用量角器和各種參數(shù)曲線（圓和直線除外）都行。

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二．14、18邊形

????14邊形的作法

1.如下圖。作圓O，半徑OA0。

2.作OA0的中垂線l，垂直于OA0的半徑OD。

3.以A0D為半徑作圓A0，直尺繞O點轉(zhuǎn)，交l于K，交圓A0于L，直到KL=OA0。此時OK交圓O于A3。角A0OA3等于(3/14)*360°。

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原理：pi/2-pi/14=3*pi/7。

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18邊形的作法

1.如下圖。作圓O，半徑OA0，直徑A0A9。OA0的中垂線交圓O于A3、A15上下兩點。

2.直尺繞A3轉(zhuǎn)動，同上半圓交于A8、同直線OA交于K，直到A8K=OA0。此時角A8OA9=20°，A8A9是圓O內(nèi)接18邊形邊長。

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原理：arccos(1/2)/3=360°/18。

?還有其他畫法。歡迎積極討論！

三．19邊形（挑戰(zhàn)性比前面幾例大幅提升）

????第一種作法

1.如下圖。作圓O，半徑OA0=18，反向延長OA0到A使得OA=1。

2.從OA0截取出OB=6，從B引OA0垂線l，l上取一點C使得BC=3*sqrt(3)。

3.三等分角BAC得角BAD，D落在以AC為半徑的圓A上，在OA0下方。作圓心角DAH=120度，跨過C點。H、D在直線OA0的投影為I、K。

4.作以2*sqrt(63+6*OK)為半徑的圓I，同線段OA0交于N。從線段IN中截取IM=(297+60*OK-9*OI)/(2*OK+21)。從M引IN的垂線交圓I于P。

5.三等分角NIP，得到角NIQ。從Q點引OA0垂線與圓O交于A1、A18，則A0A1或A0A18都是圓O內(nèi)接正19邊形邊長。

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原理：cos(2*pi/19)依靠四個一元三次方程得解。設它的形式是：cos(2*pi/19)=(A+(0.5*(B+C*sqrt(-27)))^(1/3)+(0.5*(B-C*sqrt(-27)))^(1/3))/6，不能在三次根號前面有w1或w2（為保證最大）。

確定A值是x^3+x^2-6*x-7=0處在中位數(shù)的實根x2=(-1+w2*(66.5+28.5*sqrt(-3))^(1/3)+w1*(66.5-28.5*sqrt(-3))^(1/3))/3=(-1+sqrt(76)*cos(X/3-2*pi/3))/3＜0，而該方程唯一的正實數(shù)根x1=(-1+(66.5+28.5*sqrt(-3))^(1/3)+(66.5-28.5*sqrt(-3))^(1/3))/3=(-1+sqrt(76)*cos(X/3))/3。其中，w1=(-1+sqrt(-3))/2，w2=(-1-sqrt(-3))/2，X=arctan(sqrt(27/49))。故而需要先做長度為1-sqrt(76)*cos(X/3-2*pi/3)=-3*x2的線段。根據(jù)上述作圖，OI就是這個線段。

而B的值是(152+(4215644+544236*sqrt(-3))^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(-3))^(1/3))/6，依靠計算機程序化簡即得到B=33+20*x1+3*x2。我們也作出了長為(-1+(66.5+28.5*sqrt(-3))^(1/3)+(66.5-28.5*sqrt(-3))^(1/3))的線段，是OK。而(0.5*(B+C*sqrt(-27)))^(1/3)的模長平方是M2=2*x1+7。實際操作中畫圓I，半徑IN是該模長的六倍，即2*sqrt(6*OK+63)。(0.5*(B+C*sqrt(-27)))^(1/3)的輻角主值則是Y=arccos(B/(2*M3))/3，其中B/(2*M3)=(16.5+10*x1+1.5*x2)/(2*x1+7)3/2=4.5*(99+20*OK-3*OI)/(6*OK+63)3/2=((297+60*OK-9*OI)/(2*OK+21))/IN。所以我們還要再給出長度為(297+60*OK-9*OI)/(2*OK+21)的線段IM。此后通過第二次的三等分角，得到線段IN*cos(arccos(B/(2*M3))/3)，然后減去線段OI的長度就是18*cos(2*pi/19)的值。

實際上cos(2*pi/19)=(-2+w2*(532+228*sqrt(3)*j)^(1/3)+w1*(532-228*sqrt(3)*j)^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))+162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3)+(2736+18*((4215644+544236*sqrt(3)*j)^(1/3)+(4215644-544236*sqrt(3)*j)^(1/3))-162*j*((228*sqrt(3)+532*j)^(1/3)+(228*sqrt(3)-532*j)^(1/3)))^(1/3))/36=(-1+sqrt(76)*cos(X/3-2*pi/3)+2*sqrt(57+12*sqrt(19)*cos(X/3))*cosY)/18，三次根號里面套著4個三次根號。約等于0.9458172417，可以化簡為3段。最后一段2*sqrt(57+12*sqrt(19)*cos(X/3))*cosY是核心部分。

正19邊形需要兩次三等分角，后一個三等分的角受到前一個的影響。

其他作圖方法，歡迎大家留言交流！