【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學叢書』其實還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學基礎(chǔ)自學內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學的一條龍數(shù)理化自學教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因為6677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風險極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認為6677版不失為一套不錯的自學教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學叢書6677版』上傳成文字版。

第九章物體的平衡

【山話||? 本篇專欄中的力單位達因等于10??牛頓；而老教材中的重量單位公斤，如今是用力單位牛頓表示，而如今的力是不使用公斤為單位的】

§9-6重心

【01】我們知道，每一個物體都是由很多很多的微小部分所組成的。每一個微小部分都受到豎直向下的重力的作用。如果物體不太大，可以把這些微小部分所受到的重力看作是彼此平行的。【山注||? 正常來說不同部分的重力是不平行的，因為大地是球形的（當然嚴格來說，除兩極外重力并不是精確指向地心的，因為重力是地球引力減去自轉(zhuǎn)向心力后的力），所以此處強調(diào)的“物體不太大”不是一般意義中的不太大，現(xiàn)實中我們常見的一般物體都屬于這個“不太大”范疇，因此可以放心視為各微小部分重力平行】這些平行力的合力就是物體的重量，它的作用點就叫做物體的重心，如圖9·24中的C點。

【02】質(zhì)量均勻、形狀有規(guī)則的物體的重心與它的幾何中心重合，例如：

【03】(1)棒的重心在其全長的1/2處；

【04】(2)薄圓板和圓環(huán)的重心在圓心處；

【05】(3)正多邊形薄板的重心在它的內(nèi)切圓或外接圓的圓心處；

【06】(4)正方形、長方形、平行四邊形薄板的重心在它們的對角線的交點處；

【07】(5)三角形薄板的重心在它的三根中線的交點處，也就是在三角形任何一個頂點到對邊中點的聯(lián)線上，離開對邊的距離是這條中線全長的1/3；

【08】(6)球的重心在它的球心處。

【09】如果物體的形狀是不規(guī)則的，或者質(zhì)量是不均勻的，那么雖然用計算方法來決定它們的重心位置比較困難，但是可以用實驗方法來很方便地求得。這種常用的實驗方法叫做懸掛法。例如圖9·25是一塊不規(guī)則形狀的薄板。把線結(jié)在薄板的任何一點如 A 點上，把它懸掛起來。因為薄板在兩個力的作用下處于平衡狀態(tài)，它受到的重力 P 必須與線的拉力?F 在一條直線上，也就是說，它的重心一定在懸線 F 的延長線上。然后再用另一點 B 作為懸點把薄板懸掛起來。根據(jù)同樣的理由，薄板的重心一定在懸線 BF 的延長線上。因此，薄板的重心一定在這兩根直線的交點上，即圖中的 C 點。

【10】物體的重心可以在物體上面，也可以在物體外面。例如圖9·26是兩塊由鉸鏈接在一起的相同的木塊。當兩塊木塊伸直時（圖9.26(a)），重心在它們的扭轉(zhuǎn)軸C處。如果把兩塊木塊扭成一個銳角的形狀（圖9·26(b)），那么重心就在木塊的外面了。

【11】物體的重心還與物體內(nèi)部質(zhì)量的分布情況有關(guān)。例如載重汽車的重心隨著裝貨重量的多少而不同；起重機即使在提起一定重量的重物時，它的重心也隨著提高重物的高度而變化。

例8.圖9·27是兩個連接在一起的用同樣材料制成的均勻圓柱體，它們的軸線在同一條直線上。其中一個圓柱體的長度是20厘米，截面積是9厘米2；另一個圓柱體的長度是12厘米，截面積是5厘米2。求它們的共同重心。

【解】因為這兩個圓柱體是用同樣材料制成的，所以它們的重量應(yīng)該分別等于它們的體積與材料的比重 d 的乘積。即，

????????大圓柱體的重量 P? 為 P? = 20×9×d = 180d單位。

????????小圓柱體的重量 P? 為 P? = 12×5×d = 60d單位。

????????兩個圓柱體的總重量 P 為P = P?＋P? = 180d＋60d = 240d單位。

????????由于每一個圓柱體都是有規(guī)則形狀的均勻物體，它們的重心應(yīng)各在它們的幾何中心處，所以大圓柱體的重心在C?點，OC?=12厘米+10厘米=22厘米；小圓柱體的重心在C?點，OC?=6厘米。設(shè)它們的共同重心在 G 點，并設(shè) OG =x，則G點的位置可以用力矩原理來求得，取轉(zhuǎn)軸穿過 G 點垂直于紙面，并對它求力矩，此時合力P的力矩為零，所以得出P? × GC?－P? × C?G = 0? 。

????????即 180d(22-x)－60d(x-6) = 0，。

????????即共同重心G的位置在距離O點18厘米處。

例9.圖9·28表示一根放在桌上的刻度尺，它的全長的1/4伸在桌外。如果在D端懸掛一個重250克的物體，則刻度尺僅對桌邊有壓力，求刻度尺的重量。如果在D端只懸掛125克的物體，那么，刻度尺可以伸出桌面多遠仍不致于掉下來？

【解】設(shè)刻度尺的全長為 l，重量為 P? 。由于尺是均勻的有規(guī)則形狀，所以重心在其全長的1/2處。

(1)如圖9·28(a)所示，由題意知，P 和 250克 兩豎直向下的平行力的合力的作用點就是C點（即桌邊），CD=1/4l，BC=1/4l，AB=1/2l? 。根據(jù)力矩原理，對穿過C點垂直于紙面的轉(zhuǎn)軸求力矩，得出 250 × CD－P × BC = 0，

????????即 250 × 1/4 l－P ×?1/4 l?= 0，∴ P = 250克。

(2)如圖9·28(b)所示，設(shè)CD=x，用前法，得 125 × CD－P × BC = 0，

，即伸出部分是全長的1/3。

習題9·6

1、一根長40厘米粗細均勻的金屬棒，一半是用鉛制成的，另一半是用鐵制成的。求這根圓棒的重心?！驹陔x鉛的外端約18.1厘米處】

2、一根均勻的鉛絲 AB，懸住它的中點 O 時保持平衡。如果把 OB 這一段彎折一下，使 B 點和 O 點重合，問這時是否仍能保持平衡，為什么？【不能保持平衡，因為OB部分的重心靠近懸線】

3、將一個1公斤和一個2公斤的物體分別懸掛在一根重1公斤和長60厘米的均勻棒的兩端。要使這根棒保持平衡，應(yīng)該在棒的哪一點加上一個支持力，支持力等于多少？【4公斤，在離2公斤端22.5厘米處】

4、把一根重10公斤的均勻鐵棒放在地面上，抬起一端需要用多少力？【5公斤】

5、附圖所示是我國發(fā)明的使用已久的桿秤。O 處是提紐，A 處是掛鉤，G 是秤桿、提紐和掛鉤的重心。設(shè)它們共重0.5公斤，OG=2厘米，OA=8厘米，秤錘重1公斤。那么，為了使桿秤在不稱量物體的時侯保持平衡，應(yīng)該把秤錘懸掛在什么地方？這一點就是秤的刻度的起點。在秤鉤上掛上一個2.5公斤的物體時，應(yīng)該把秤錘懸掛在什么地方桿秤才能平衡？如果在稱量某物體時，秤錘懸掛在離提紐11厘米處桿秤保持平衡，求物體的重量?！驹陔x提紐左邊1厘米處，在離提紐右邊19厘米處，1.5公斤】