前言

???? ? ?在上一篇文章中講到了比例控制存在無法消除穩(wěn)態(tài)誤差的問題，將在本篇中予以解決。若未看前一篇文章歡迎回看。

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正文

1、引言

? ? ? ??還是以上一篇文章中的水池系統(tǒng)為例。我們發(fā)現(xiàn)不管怎樣設(shè)置K值，其始終存在穩(wěn)態(tài)誤差，誤差值為ess=10/(1+K)?，F(xiàn)在把控制系統(tǒng)（注水系統(tǒng)）C拿出來，原設(shè)計(jì)是C(s)=K，也就是不管輸入什么s值一律給出常數(shù)K，即比例控制?，F(xiàn)在我們直接把K退化為C(s)，穩(wěn)態(tài)誤差不用重算，替換一下就好，得：

? ? ? ??我們還是希望穩(wěn)態(tài)誤差為0，即s→0時(shí)C(s)=∞。稍微思考下可以想到，令C(s)=1/s即可，因?yàn)?/0=∞。這跟常數(shù)K=∞不一樣：一個(gè)是不管什么s值均返回?zé)o窮大，而這個(gè)僅在s=0時(shí)返回?zé)o窮大。數(shù)學(xué)可以證明函數(shù)為1/s的系統(tǒng)實(shí)際上就是一個(gè)積分器（∫）。用一個(gè)通俗的解釋就是：s=0對應(yīng)輸入直流常數(shù)，而對一個(gè)直流常數(shù)做積分會得到一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的線性函數(shù)，隨著時(shí)間t→∞，積分值自然也趨于無窮。現(xiàn)在令C(s)=K/s，調(diào)節(jié)K使系統(tǒng)進(jìn)一步完善，繼續(xù)使干擾D(s)=0可得系統(tǒng)框圖：

2、積分控制

? ? ? ??現(xiàn)在系統(tǒng)的控制邏輯是純積分了，所以也稱為積分控制?，F(xiàn)在設(shè)計(jì)K值以調(diào)節(jié)積分器的積分力度。計(jì)算得Loop Transfer Function為GCH=K/(s(s+1))；特征方程為1+GCH=0→s^2+s+K=0；Close Loop Transfer Function為GC/(1+GCH)=K/(s^2+s+K)?？梢园l(fā)現(xiàn)隨著積分器的引入，系統(tǒng)的階數(shù)增加了，從一階系統(tǒng)變成了二階系統(tǒng)，因?yàn)樘卣鞣匠虨橐辉畏匠?。同樣可知特征方程有兩個(gè)根，即閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)，需要求出兩個(gè)極點(diǎn)的位置。雖然現(xiàn)在解一元二次方程也不是什么難事，但以后隨著系統(tǒng)階數(shù)增加，特征方程為一元三次甚至更多次時(shí)，就很難常規(guī)求解了，所以需要利用前一篇的工具——根軌跡。

? ? ? ??根軌跡還是需要從Loop Transfer Function入手?？梢灾烙袃蓚€(gè)Loop極點(diǎn)p1=0、p2=-1，沒有Loop零點(diǎn)。按照根軌跡的理論，由于沒有零點(diǎn)，兩個(gè)極點(diǎn)隨著K從0→∞時(shí)會先在實(shí)軸上相互靠近匯合，而后兩者分開進(jìn)入復(fù)數(shù)域，相互遠(yuǎn)離奔向無窮遠(yuǎn)。其計(jì)算機(jī)繪圖結(jié)果如下：

? ? ? ??通過計(jì)算機(jī)（手算也行）可以得到兩個(gè)極點(diǎn)交匯處，K=0.25，極點(diǎn)p1=p2=-0.5。于是可以分出3種情況討論：

1、0<K<0.25時(shí)，兩個(gè)極點(diǎn)位于實(shí)軸，系統(tǒng)輸出為exp指數(shù)衰減項(xiàng)。其中靠右邊的極點(diǎn)由于衰減慢，對整個(gè)輸出起主要作用，所以它也稱之為“主導(dǎo)極點(diǎn)”。

2、K=0.25時(shí)，兩個(gè)極點(diǎn)重合形成雙重極點(diǎn)，輸出為線性指數(shù)函數(shù)t*exp項(xiàng)，為最快的無振蕩衰減。

3、K>0.25時(shí)，兩個(gè)極點(diǎn)進(jìn)入復(fù)數(shù)域，形成共軛復(fù)數(shù)對。實(shí)數(shù)部對應(yīng)exp衰減項(xiàng)，而虛數(shù)部對應(yīng)sin振蕩項(xiàng)，系統(tǒng)輸出開始振蕩，并帶來超調(diào)Overshoot。隨著K的調(diào)大，極點(diǎn)對的實(shí)數(shù)部一直沒有改變，而虛數(shù)部卻一直增加。衰減沒加快，而振蕩頻率以及過沖都會增大。

? ? ? ??圖5為K分別為0.15、0.25、0.5的系統(tǒng)輸出（顏色Y、B、R）；圖6為K分別為5、1、0.5的系統(tǒng)輸出。

? ? ? ??從圖5、6可以看到：不管設(shè)置什么K值，最終水位都能達(dá)到10，達(dá)成了穩(wěn)態(tài)誤差ess=0的目標(biāo)。這就是積分控制的作用——消除穩(wěn)態(tài)誤差（靜差）。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)都一樣，現(xiàn)在看看動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

? ? ? ??從圖5可以看到，K值較小時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)非常慢，從0校正到10的時(shí)間達(dá)到30s之久，但可以優(yōu)化。到K=0.25時(shí)是無振蕩的最快衰減速度，大概需要16s完成過渡狀態(tài)。當(dāng)K越過0.25后，會發(fā)現(xiàn)輸出超過10的現(xiàn)象，這個(gè)現(xiàn)象稱之為超調(diào)（過沖）Overshoot，也稱為過調(diào)節(jié)。如果設(shè)計(jì)要求不允許超調(diào)的話，那K最大只能到0.25封頂。如果條件設(shè)計(jì)允許的話，不妨讓K稍稍超過0.25，以少許超調(diào)的代價(jià)換取較短的上升時(shí)間Rise Time。雖然衰減時(shí)間沒變，但誤差大的時(shí)間變短了，后面較長的時(shí)間輸出值距離目標(biāo)值均較近。

? ? ? ??圖6告訴我們不能無腦調(diào)大K以減少上升時(shí)間，隨著K的增大伴隨而來是劇烈的過沖，黃色線的峰值都飆到15去了。一般來說過于劇烈的過沖是不能接受的，比如水池系統(tǒng)的水池有高限，裝不下這么高的水位造成溢出；現(xiàn)實(shí)的電路系統(tǒng)中，過沖很容易導(dǎo)致器件過電壓/電流導(dǎo)致燒毀等。這里再次印證了：設(shè)計(jì)都是各個(gè)參數(shù)相互妥協(xié)的結(jié)果。調(diào)大K優(yōu)化了上升時(shí)間，但劣化了過沖；想要消滅過沖則要忍受超長的調(diào)節(jié)時(shí)間。

? ? ? ??綜合圖5和6均發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題，就是積分調(diào)節(jié)的時(shí)間普遍很長，基本都需要10s的時(shí)間輸出值才比較接近穩(wěn)定值。而回看上一篇文章的比例調(diào)節(jié)會發(fā)現(xiàn)，雖然有穩(wěn)態(tài)誤差，但比較差的設(shè)計(jì)都能在2s內(nèi)完成調(diào)節(jié)。這表明積分調(diào)節(jié)有一個(gè)毛病——降低系統(tǒng)的響應(yīng)速度，或者說增大了系統(tǒng)的慣性，像大貨車那樣相比小汽車沒那么容易改變狀態(tài)，剎車距離也比較長。所以還是看你想要無穩(wěn)態(tài)誤差呢？還是想要快速調(diào)節(jié)呢？

3、伯德圖

? ? ? ??前文是從根軌跡角度看積分調(diào)節(jié)的，現(xiàn)在從伯德圖角度看積分調(diào)節(jié)。下面為K分別為0.1、0.25、1、10共4張伯德圖：

? ? ? ??首先關(guān)于低頻增益Gain，因?yàn)棣?0 rad/s在對數(shù)坐標(biāo)系中是畫不出來的，所以可以認(rèn)為積分器的極點(diǎn)位于伯德圖左邊無窮遠(yuǎn)。由于幅度曲線往左邊一直是上升的，所以可以認(rèn)為到0 rad/s位置時(shí)增益已達(dá)到了∞dB，也就說明積分器很好的消除了穩(wěn)態(tài)誤差。

? ? ? ??同樣由于積分器極點(diǎn)在伯德圖左邊無窮遠(yuǎn)處，所以相移一開始就有-90°的滯后。而在ω=1 rad/s處的極點(diǎn)再次給予-90°的相移，相移曲線直逼-180°危險(xiǎn)線（但沒有達(dá)到/穿過）。雖然理論上系統(tǒng)不會自激，根軌跡也沒跑到右半平面，但現(xiàn)實(shí)環(huán)境的系統(tǒng)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)模型復(fù)雜，你永遠(yuǎn)不知道哪個(gè)附加干擾能讓相移越過-180°，所以設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)必須留有安全裕度，即“幅值裕度”和“相角裕度”。相角裕度PM定義為：幅值曲線穿過0dB軸時(shí)對應(yīng)的相移與-180°線的間距，或者說截止頻率處的相移與-180°的差值裕量；幅值裕度GM定義為：相移曲線穿過-180°線時(shí)對應(yīng)的幅值與0dB軸的間距。圖7--10均有標(biāo)注GM和PM。由于相移曲線沒有穿過-180°，所以不存在幅值裕度GM。而幅值曲線有穿過0dB軸，所以存在相角裕度。

? ? ? ??當(dāng)K較小時(shí)，積分控制的截止頻率ωcross很低，系統(tǒng)帶寬小于比例控制的帶寬，表明系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間會很長。隨著K的增大，截止頻率右移，系統(tǒng)帶寬增加、響應(yīng)加快，但同時(shí)也降低了相角裕度PM。相角裕度過低會產(chǎn)生振蕩和超調(diào)，并且會延長調(diào)節(jié)時(shí)間（抵消增大截止頻率的效果）。相角裕度越低其情況越嚴(yán)重，當(dāng)相角裕度降到45°時(shí)其對應(yīng)的超調(diào)量已達(dá)到20%。在大部分設(shè)計(jì)中會規(guī)定輸出允許偏移目標(biāo)值±20%以內(nèi)，相當(dāng)于一個(gè)門限。對應(yīng)到相移曲線，這個(gè)門限就在P=-135°（PM=45°）。如果改變超調(diào)量限制，相移限制也會相應(yīng)改變。

? ? ? ??通過觀察伯德圖可以知道，當(dāng)PM<76.3°時(shí)開始產(chǎn)生過沖，但很輕微可忽略；PM=51.8°時(shí)已經(jīng)有明顯過沖，但仍在45°線內(nèi)，其對應(yīng)時(shí)域曲線（圖6藍(lán)色）也沒超過12（10+10*20%）；而PM=18°時(shí)基本不能接受了。所以從伯德圖的角度設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，一般先指定相移裕度PM，通過相移曲線確定截止頻率ωcross，而后通過截止頻率算出需要的K值。

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總結(jié)

? ? ? ??本文講解了使用積分控制消除了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，但也因此帶來了過慢的響應(yīng)速度以及輸出超調(diào)。在根軌跡分析中表明：剛開始增大K值會加快系統(tǒng)響應(yīng)速度（極點(diǎn)左移），而后再增大K值再也無法加快響應(yīng)速度，伴隨而來的是振蕩超調(diào)（極點(diǎn)進(jìn)入復(fù)數(shù)域），但可以用適當(dāng)?shù)某{(diào)換取上升時(shí)間。在伯德圖分析中表明：剛開始增大K值能加快系統(tǒng)響應(yīng)（截止頻率右移，系統(tǒng)帶寬增加），但相角裕度的降低限制了其K值不能再繼續(xù)調(diào)大，否則面臨嚴(yán)重過沖。

? ? ? ??雖然控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)是一個(gè)相互妥協(xié)的結(jié)果，但也不是意味著無條件地妥協(xié)，我們還是希望“我全都要”的。既然怎么調(diào)節(jié)K值都不能達(dá)到無穩(wěn)態(tài)誤差+快速響應(yīng)的效果，那就需要新的控制手段，這些將在下一篇文章中將予以介紹。（完）

by HD-nuke8800

2022/5/2