《線性代數(shù)》高清教學(xué)視頻 “驚嘆號”系列 宋浩老師
1.1行列式
二階行列式的定義
三階行列式的展開
n級排列
逆序數(shù)：按順序從第一個開始數(shù)后面有幾個數(shù)比他小
N（4213）=3+1=4
N為偶數(shù)叫偶排列 N為奇數(shù)叫奇排列
N（1，2，3...n）=0標(biāo)準(zhǔn)排列（自然）
對換
1.2n階行列式
n階行列式
定義（按行展開）
下三角行列式
上三角行列式逆向思維 同理可得
總結(jié)
1.2行列式的性質(zhì)
性質(zhì)1：行列式轉(zhuǎn)置值不變
即 行列式性質(zhì)對行成立對列也成立
性質(zhì)2：兩行互換 值變號
性質(zhì)3：行列式兩行對應(yīng)相等D=0
性質(zhì)4：
性質(zhì)5：由性質(zhì)3 4可得
行列式兩行對應(yīng)成比例D=0
推論：某一行全為0，D=0
性質(zhì)6：是和的那一行分開 其余行保持不變
▲性質(zhì)7：某一行乘以一個數(shù)，加到另一行上去 D不變
運(yùn)算
先處理第一列再處理第二列。。。
第一列處理完后，第一行不再參與運(yùn)算
1.3行列式按行展開
1,余子式Mij
余（剩余）子（子集）式（行列式）
代數(shù)余子式
定理：按某行（某列）展開 降階！
選零多的行或列展開
D=某行元素*自己的代數(shù)余子式的總和
例題
異乘變零定理
某行元素與另一行元素的代數(shù)余子式乘積只和等于零
證明：妙蛙
拉普拉斯定理
k階子式
拉普拉斯展開定理
取定k行 由k行元素組成的所有k階子式與其代數(shù)余子式乘積之和=D
行列式相乘（同階?。?/p>
不同階直接算出兩個行列式的值然后相乘
1.4行列式的運(yùn)算（1）
解題思路余子式轉(zhuǎn)為代數(shù)余子式反帶回行列式構(gòu)建一個新的行列式 然后進(jìn)行行列式計算
制造行和
提出第一列的公因子
變?yōu)橄氯?/p>
行列式的計算（二）
加邊法 （不能改變原行列式的值）
第一行加全加1第一列全加0 按第一列展開值不變
第一行乘以-1加到后面的所有行
得到3叉型行列式
固定技巧
對角線上的數(shù)消去第一列的數(shù)
有字母放分母上（字母不為0）
i，j是腳標(biāo)！
例8
反對稱行列式：主對角線全為0 上下位置對應(yīng)成相反數(shù)
對稱行列式：
主對角線元素沒有要求
上下位置對應(yīng)相等
奇數(shù)階反對稱行列式D=0
1.5克來姆法則
方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)
1.n個方程n個未知數(shù)
2.D不等于0（D為方程的系數(shù)行列式）
齊次方程至少有零解
定理：齊次方程方程個數(shù)等于未知數(shù)個數(shù) D不等于0 只有零解
2.1矩陣的概念
矩陣的定義
行列式與矩陣的區(qū)別
只有一行 行矩陣
只有一列 列矩陣
元素都是0 零矩陣 記作0
A的所有元素取相反數(shù) 記-A
矩陣行數(shù)=列數(shù) n階方正 記An
單位陣 記E 或者 I
E3
同型矩陣 行數(shù)列數(shù)相等
同型矩陣對應(yīng)元素相等 則矩陣A=B
矩陣相等的前提是同型矩陣
2.2矩陣的運(yùn)算
加減法：對應(yīng)位置元素相加減 （同型矩陣才能相加減）
數(shù)乘運(yùn)算：數(shù) 乘矩陣所有元素
矩陣所有元素均有公因子，公因子外提一次
矩陣的乘法
矩陣相乘前提：第一個矩陣的列數(shù)=第二個的行數(shù)
結(jié)果矩陣的形狀：
結(jié)果矩陣行數(shù)=第一個的行數(shù)
結(jié)果矩陣列數(shù)=第二個的列數(shù)
宋氏七字口訣
前提：中間相等
形狀：取兩頭
例3：A*B不等于B*A
AB有意義BA不一定有意義
AB=BA時 A，B是可交換的
A*B A左乘B B右乘A
例5：
1.與零矩陣相乘
2.與單位矩陣相乘
乘法規(guī)律：（矩陣相對左右順序不變）
例6：
矩陣可交換 必須是同階方陣
例7：變量間線性替換 （好好看，好好想?。?/p>
矩陣的冪（A是方陣）
矩陣的轉(zhuǎn)置
性質(zhì)：1 4很重要
性質(zhì)4原理
2.3
都是方陣
1: 數(shù)量矩陣 aE
2:對角形矩陣
例1（左乘對應(yīng)行，右乘對應(yīng)列）
3:三角形
4:
對稱
反對稱矩陣 主對角線全為0
A轉(zhuǎn)置=-A
逆矩陣
概念理解
矩陣不能放在分母上
1：方陣的行列式
性質(zhì)和例題
只有方陣才有伴隨矩陣
伴隨矩陣的定義
按行求 按列放 （代數(shù)余子式）
定理：任意方陣有
異乘變零
推論：IAI=0也成立
