從另一個(gè)視角推導(dǎo)出齊次二階線性微分方程

國(guó)內(nèi)的大部分教材都是通過(guò)線性相關(guān)解與線性無(wú)關(guān)解推導(dǎo)出齊次二階線性微分方程的解，但大部分同學(xué)對(duì)此有些困惑，只能硬記公式。這里給出一種推導(dǎo)方法：

對(duì)于方程

①

參考一階線性微分方程，我們不難看出y可以用自然數(shù)指數(shù)函數(shù)表示，因此仿照這個(gè)定義，我們令：

那么帶入方程就有：

不難得出：

這個(gè)方程為微分方程的特征方程，可以知道如果我們求出r的兩個(gè)解，那么就能求出這個(gè)微分方程。

根據(jù)韋達(dá)定理：

帶入到①式就有：

展開(kāi)得到：

令：

②

那么這個(gè)方程就轉(zhuǎn)換為一階線性微分方程：

解得

帶入②式，就有：

根據(jù)通解公式就有：

到這里我們就能看出來(lái)：

1. 當(dāng)的時(shí)候，解為

   
   

2. 當(dāng)和是實(shí)數(shù)解的時(shí)候，解為

   
   

3. 當(dāng)和是復(fù)數(shù)解的時(shí)候，根據(jù)歐拉公式，令，有：

   
   

這就是用一階微分方程推導(dǎo)二階微分方程的方法