教與學的理念

數(shù)學分析等數(shù)理課程成效 在于?理解與掌握難以理解與掌握的思想與方法。就此，一方面需要?認識的螺旋式上升（對應遞進性教與學），另一方面需要?認知上抓住事物的主要矛盾。

本課程引入?辨證唯物主義的觀點與方法，引領整個教與學的過程。?

• 教與學計劃按周為單元，每一周都要學習新的知識，就此需要在當周 理解與掌握相關知識 ——?從不明白到明白、從不懂到懂 就是 量變到質變的過程。

• 從量變與質變 就是 進步的過程，但這并不是自然而然地發(fā)生，就此需要?看清事物的本質?—— 數(shù)學分析對于同一個概念與結論就可以有多種表述形式，處理上一般也沒有完全一致的要求（多種處理可以都是正確的，都說明了同一個性質），就此 需要 認識到事物的本質。認識事物的本質 或者 透過現(xiàn)象看本質，需要鍛煉 抓住事物主要矛盾的能力，這種能力的培養(yǎng)對于學習具有基礎性的作用。

• 本課程的教與學注重?內容方法化、做法思想化、學習通識化，這也是對微積分知識體系的一種認知方式。認識無止境，教師的闡述反映了教師現(xiàn)有的認識與體會，同學們學習之后要有自己的思考，逐漸鍛煉自己的辨析能力，取長補短就能事半功倍。

本課程擁有 國家一流本科課程（線下課程）榮譽，我們的課程始終追求 課程的一流化水平：課程內容的廣度與深度 可以類比國內外代表性教程與參考的程度，并且 具有理想的教與學的成效，力求每一位同學都能夠學得好。

教與學的方式

按一般的認知規(guī)律（認識的螺旋式上升），本課程執(zhí)行?遞進性教與學。

2023年春季學期，兩個班級都安排在 周一晚上 18:30-21:30，利用?復旦騰訊會議，基于 電子板書 進行 基本內容 的學習。此環(huán)節(jié)教師會強調 要點與難點，并且?guī)熒g可以有討論。

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2023年春季學期，我開設有 兩個班級（按見面課的時間進行區(qū)分），見面課的主要形式，概述如下：

• A班（周一下午1-2節(jié)、周三上午3-5節(jié) 見面課） 周一上午會結合 當天晚上需要在線學習的基本內容進行概述，大致說明需要掌握哪些思想與方法；周三上午，細節(jié)性澄清相關思想與方法，包括 解析相關事例。

• B班（周五下午1-5節(jié) 見面課）第一部分 教師澄清 相關思想與方法；第二部分 師生研習 相關事例，可以接龍式地演練習題，實時可以進行注釋與討論；第三部分 與助教、教師的的單獨交流。注：由于周五下午研習時間長，?課程免費提供咖啡、茶葉，杯子請自帶。

注：見面課人比較多的情況，會基于 復旦騰訊會議 基于攝像機信號進行直播，這樣坐在后面的同學可以同時觀看視頻。

計劃 每周二下午 安排 輔導與研討，主要有兩種形式：

• 在教師的辦公室進行，主要研習習題，師生之間可以充分交流。一個下午可以安排二場：13:00-15:00；15:30-17:30，每場可以接待20位同學，屆時可報名參加。主要內容，會通過騰訊會議進行直播，沒有現(xiàn)場參加的同學可以觀看回放視頻。

• 課程系列講座 主要研習著名教程的習題與事例等，在教室進行并且隨堂拍攝視頻，剪輯后在B站發(fā)布。

平時練習??本次課程將采用?書面習題冊?的形式，為每位修讀的同學提供書面的《一元微積分-習題冊》，A3紙活頁裝訂。每周助教與任課教師都會批閱 習題冊，并作記錄。一般而言，一份作業(yè)文件的基礎性習題，在兩周內完成。

考核方式?本課程采用?過程性評估，進行：（1） 一元微分學、一元積分學、一元微積分綜合性?三次?階段性考試（取二次最好的成績，平均后折合成總評的 50%）；一般在周日晚上進行。（2）每次階段性考試的前一周，進行對應的?測驗，測驗不計分，參加 2 次，就得到總分的 5%，未參加 2 次則不得分；一般在周日晚上進行。（3）作業(yè)文件，基本完成，得到總分的 5%；未基本完成 不得分。（4）期末考試，占總分的 40%。

在線資源

教與學的計劃（周計劃）

本課程按 知識體系的建立過程 安排 教與學進度，以周為單元；當可能會由于假期或者教與學的實際情況對進度稍作調整。

以下所列視頻，按其內容屬性分別歸屬于：基本內容、方法化、應用事例；相關頻道 標識上述三種視頻的內容屬性。

第一部分 一元微分學

§ 01 第 01 周

§ 01-第一層面 基于在線資源的自學

（1）微積分研究的主要對象、基本研究思想及方法 ① 函數(shù)（映照）的基本概念，映照為微積分研究的主要對象。② 微積分知識體系的層次，本一年制課程將主要包括一維Euclid空間上的微積分，有限維Euclid空間上的微積分以及級數(shù)。③ 建議學習方法：（a）堅持“正本清源”，要求澄清各個知識點的來龍去脈以及整個知識體系間的融會貫通。（b）堅持“溫故而知新”，基于微積分知識體系輻射型發(fā)展的特點，努力以已有的知識發(fā)展新的知識。（c）堅持“將學問升華為能力”，微積分知識體系可謂我們認識自然及非自然世界系統(tǒng)的思想及方法之核心，在對知識體系融會貫通的基礎上追求觸類旁通。這將有二方面的作用，其一具有自我學習（吸?。└钊胫R體系的能力，反映為具有好的學問；其二將知識體系融合精神，使其真正成為我們認識自然及非自然世界的能力。

（2）數(shù)列極限概念與分析性質 概念引入或提取可基于阿基米德曲邊梯形之面積計算過程。① 引入數(shù)列極限的概念，亦即對“逼近行為”給予嚴格的刻畫方式。② 數(shù)列極限的分析性質。

（3）數(shù)列極限的計算方法（部分） 目前提供部分處理方法要素，主要包括：（a）基本運算：四則運算、夾逼性；（b）引入無窮小量；（c）說明無窮小量的兩個充分性方法；（d）Stolz定理；（e）分部估計；（f）Abel等式及其估計

§ 01-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1）映照的意義與形式

（2）數(shù)列極限的概念與基本分析性質

（3）數(shù)列極限的計算方法（部分）

§ 01-教學視頻

數(shù)列極限的計算方法-部分

§ 01-課程講稿

§ 01-習題文件

§ 01-知識圖示化

§ 02?第 02?周

§ 02-第一層面 基于在線資源的自學

（1） 數(shù)列的分析性質? ① 上、下確界基本概念，分別作為最小的上界和最大的下界。 ② 確界存在性定理。③ 實數(shù)系相關定理：確界存在性定理 → 單調有界必收斂 → 閉區(qū)間套定理 → 有界數(shù)列必有收斂子列（Bolzeno-Weierstrass定理） → 數(shù)列的Cauchy收斂原理；數(shù)列的Cauchy收斂原理 → 閉區(qū)間套定理? → 確界存在性定理。 ④ 點列收斂的Cauchy原理的一則應用，一維Euclid空間上的Banach壓縮映照定理（不動點原理）及其應用。相關事例體現(xiàn)“高等數(shù)學”的意味。注：限于實際的學時，教學具體對象及目標等，暫不考慮實數(shù)構造理論的細節(jié)，故承認確界存在性定理，且籍此開展所有的分析。

（2）基于單調有界必收斂的典型事例? ① Napier數(shù)。② Euler數(shù)。

（3）數(shù)列的上下極限? ① 對有界數(shù)列而言，上、下極限的定義。② 上、下極限的分析性質；考慮所有收斂子列的極限值的集合，上、下確界分別為最大值與最小值。③ 上、下極限的運算性質，包括加法、乘法、負數(shù)、倒數(shù)，以及平方與開根號運算。

§ 02-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1） 數(shù)列的分析性質

（2）數(shù)列的上下極限??① 基本內容。② 相關應用，對于有界數(shù)列可以通過計算其上、下極限確定數(shù)列是否收斂并獲得極限值。實際處理中，首先確定數(shù)列的有界性；其次檢查單調性，如有單調性則利用單調有界必收斂，如果單調性不明確則計算上、下極限。

§ 02-教學視頻

方法化：數(shù)列的上下極限分析方法-2022-2023學年第一學期

結構-確界

確界的相關性質

上下極限基本性質

上下極限運算性質

§ 02-課程講稿

§ 02-習題文件

§ 02-知識圖示化

§?03 第 03 周

§ 03-第一層面 基于在線資源的自學

（1） 函數(shù)極限的定義? ① 函數(shù)（映照）的概念??② 將函數(shù)極限理解為函數(shù)的某種局部行為，給出Cauchy敘述（集聚刻畫）及Heine敘述（序列刻畫）；通過引入廣義鄰域，給出數(shù)列極限的統(tǒng)一敘述（包括當自變量趨于有限值，正、負無窮及無窮情形，因變量趨于有限值，正、負無窮及無窮情形）；需要掌握相關局部行為的圖示表達。③ 函數(shù)極限的Cauchy敘述、Heine敘述及其等價性；函數(shù)極限的Cauchy收斂原理（振幅刻畫）。④ 函數(shù)的連續(xù)性作為函數(shù)極限特殊情形處理。⑤ 復合函數(shù)極限定理。

（2）基本初等函數(shù)的連續(xù)性??① 三角函數(shù)的連續(xù)性，可基于集聚刻畫獲得。② 指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，可基于數(shù)列刻畫由相關數(shù)列極限的結果獲得。③ 對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，可基于數(shù)列刻畫由相關數(shù)列極限的結果獲得。 ④ 冪函數(shù)的連續(xù)性，基于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的復合。⑤ 反函數(shù)的連續(xù)性，基于反函數(shù)的存在性定理：閉區(qū)間上的單調函數(shù)，如其值域為閉區(qū)間，則此單調函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；閉區(qū)間上的單調函數(shù)，如其在閉區(qū)間上連續(xù)，則其值域為閉區(qū)間。

（3）基本初等函數(shù)的低階多項式逼近??① 基于典型的函數(shù)極限，獲得正弦函數(shù)的一階線性逼近，從而獲得余弦函數(shù)的二階多項式逼近。② 基于典型的函數(shù)極限，結合對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，獲得對數(shù)函數(shù)的線性逼近。③ 基于對數(shù)函數(shù)的線性逼近，結合復合函數(shù)極限定理，獲得指數(shù)函數(shù)的線性逼近。④ 基于對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的線性逼近，獲得冪函數(shù)的線性逼近。⑤ Landau符號（帶小o的符號），表現(xiàn)為對具有某類性質的函數(shù)的一種表現(xiàn)形式。Landau符號的運算性質切實反映了“抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的觀點。

§ 03-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1）函數(shù)極限的等價性定義?① 集聚刻畫、序列刻畫、振幅刻畫。② 三者刻畫的等價性

（2）函數(shù)極限的計算方法（部分）?① 基本初等函數(shù)的連續(xù)性。② 基本初等函數(shù)的低階多項式逼近，基于兩個典型的函數(shù)極限與基本初等函數(shù)的連續(xù)性獲得。③ Landau符號及其運算性質。

§ 03-教學視頻

基本內容：函數(shù)極限的計算方法（部分）

極限的意義與性質

四則與復合運算

基于展開

基于分析

§ 03-課程講稿

§?03-習題文件

§?03-知識圖示化

§ 04-第一層面 基于在線資源的自學

（1）函數(shù)的導數(shù)? ① 一元函數(shù)的導數(shù)定義為因變量相對于自變量的變化率，理解為一類特殊的函數(shù)極限。② 函數(shù)可微性的概念，通過Landau符號說明導數(shù)的幾何意義（引入函數(shù)切線）。③ 基于Landau符號的分析，獲得基本初等函數(shù)的導數(shù)。④ 基于Landau符號的分析，獲得導數(shù)的基本運算性質：（a）四則運算；（b）復合函數(shù)的可導性定理。值得指出，微積分中的復雜函數(shù)源于基本初等函數(shù)的四則運算與復合運算，籍此獲得基本初等函數(shù)的導數(shù)以及四則運算與復合運算的一般性導數(shù)計算方法，就可建立復雜函數(shù)的導數(shù)計算方法，但這些方法都是充分性方法。⑥ 高階導數(shù)：定義為第一階導函數(shù)的導數(shù)；為計算某點的p導數(shù)，需要p-1階導數(shù)在該點的某個領域有定義。

§ 04-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1）函數(shù)導數(shù)的計算方法??① 充分性計算方法，包括：（a）四則運算；（b）復合函數(shù)的可導性定理/鏈式求導；（c）反函數(shù)的可導性定理。② 函數(shù)極限分析方法，主要研究分段定義的函數(shù)在分段點的導數(shù)。

§ 04-教學視頻

方法化：函數(shù)導數(shù)的計算方法-2022-2023學年第一學期

導數(shù)的意義

一般方法

反函數(shù)的導數(shù)

§ 04-課程講稿

§?04-習題文件

§?04-知識圖示化

待補充

§ 05 第 05 周

§ 05-第一層面 基于在線資源的自學

（1）無限小增量公式的基本理論? 無限小增量公式為研究函數(shù)局部行為的主要方法。 ① 無限小增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有樸素及一般形式。② 基于無限小增量公式研究函數(shù)局部行為的基本方法。其知識要素包括：（a）若干基本初等函數(shù)的無限小增量公式，可通過公式直接獲得；（b）復合函數(shù)極限定理；（c）“逐項可求”以及“逐項求積”二個技術性引理；（d）Landau符號的運算（反映抓住主要矛盾，忽略次要矛盾）。

（2）無限小增量公式的應用?主要包括以下兩個方面：① 獲得復雜函數(shù)的多項式逼近，籍此亦成為處理復雜函數(shù)極限的重要方法。② 力學或物理學等學科中往往采用“微元分析法”獲得對所研究事務的控制方程（現(xiàn)為常微分方程，亦即可含有函數(shù)本身及其導函數(shù)的等式），其分析過程可分為三步驟：（a）基于力學或物理學規(guī)律對“微元”建立模型；所建立的模型往往含有“小量”（常包含在函數(shù)的自變量中）。（b）對模型中的“小量”按無限小增量公式展開，然后在等式兩邊令“小量”趨于零的極限以獲得常微分方程。（c）對所獲得的常微分方程的分析。應用事例可選取“牧童牽?！睓C理，懸鏈線方程推導等。

（3）Bernoulli-L’Hospital法則?先引入Cauchy中值定理（分析置后），然后進行分析。

§ 05-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1）無限小分析方法?指獲得復雜函數(shù)的高階多項式逼近，帶有Landau的符號，故隸屬極限行為。方法要素，主部包括：① 無限小增量公式，基于Cauchy中值定理；② 基于高階多項式逼近，獲得逐項求導、逐項求積二個技術性引理；③ 基本初等函數(shù)的展開，直接基于無限小增量公式；④ Landau符號的運算性質，主要表現(xiàn)于相關函數(shù)展開式在四則運算、復合運算中誤差/次要部分的歸類/簡化作用。

（2）函數(shù)極限的計算方法（部分）?① 無限小分析方法；② Bernoulli-L’Hospital法則

（3）最值方法?程序性處理流程為：① 函數(shù)定義域內部求臨界點； ② 判斷臨界點的類別，基于無限小增量公式；③ 綜合極值點、邊界點的函數(shù)取值，獲得最值點與最值。

§ 05-教學視頻

方法化：無限小分析方法-2022-2023學年第一學期

高階導數(shù)的意義

無限小增量公式

間接性方法

基本初等函數(shù)的展開

方法化：Bernoulli-L'Hospital法則-2018-2019學年第一學期

§?05-習題文件

§?05-知識圖示化

§ 06 第06周

§ 06-第一層面 基于在線資源的自學

（1）有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質（內部無可導性）

（2）有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質（內部有可導性）?基于通識性結構：Fermat引理（如果函數(shù)在極值點可導，則導數(shù)為零），可以獲得：Rolle定理（閉區(qū)間內部有最值，則該點處導數(shù)為零） →平面曲線的等斜率定理/Cauchy中值定理，Lagrange中值定理作為特殊情形。此處，引入反函數(shù)及其導數(shù)的相關結論。

（3）基于微分中值定理的分析方法

§ 06-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1）有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質（內部無可導性）

（2）有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質（內部有可導性）

（3）基于微分中值定理的分析方法

§ 06-教學視頻

基本內容：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質-2022-2023學年第一學期

內部無可導性

內部有可導性

微分中值定理

無限小與有限增量

推廣的結論

§?06-習題文件

§?06-知識圖示化

§ 07 第07周

§ 07-第一層面 基于在線資源的自學

1.??函數(shù)一致連續(xù)性的判斷方法

§ 07-第二層面 限定時間的內容講述與討論

1.??函數(shù)一致連續(xù)性的判斷方法

§ 07-教學視頻

方法化：一致連續(xù)性的分析方法-2021-2022學年第一學期

§?07-習題文件

§?07-知識圖示化

待上傳

§ 08 第08周

§ 08-第一層面 基于在線資源的自學

（1）有限增量公式的基本理論?有限增量公式為研究函數(shù)全局行為的主要方法。① 有限增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有樸素及一般形式，此時余項為Lagrange型。② 有限增量公式的一般形式：（a）Schlomilch－Routh型，其特殊情況包括Lagrange型以及Cauchy型余項；（b）積分型余項。

（2）函數(shù)及其導數(shù)界的估計方法?主要的方法要素有：（a）選取特殊點對建立有限增量公式，以此獲得函數(shù)或其某階導函數(shù)的關系式；（b）一般可基于最值問題的處理方法獲得上述關系式的界。

§ 08-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1）有限增量公式的獲得

（2）有限增量公式的應用?主要包括：近似公式的獲得及其誤差估計。

（3）函數(shù)及其導數(shù)界的估計方法

（4）獲得數(shù)型與函數(shù)型不等式的方法?① 數(shù)型不等式；② 函數(shù)型不等式

§ 08-教學視頻

基本內容：有限增量公式-2021-2022學年第一學期

§?08-習題文件

已在相關 習題文件中包含

§?08-知識圖示化

已在相關 知識圖示化中包含

§ 09 第09周

§ 09-第一層面 基于在線資源的自學

（1）函數(shù)的凹凸性

（2）獲得數(shù)型與函數(shù)型不等式的方法?主要包括以下二方面：（1）數(shù)型不等式。（a）基于函數(shù)的單調性；（b）基于函數(shù)的凹凸性，一般地有Jensen不等式，作為應用可得調和平均、幾何平均和算術平均間的關系；基于對數(shù)函數(shù)的凹凸性獲得Young不等式，籍此獲得Holder不定式 → Minkowskii不等式。（2）函數(shù)型不等式。原則上函數(shù)型不等式可按最值問題的觀點進行分析，表現(xiàn)為偏差函數(shù)不變號，實際可以由單調性估計偏差函數(shù)。

（3）平面曲線定性作圖的方法?主要包括二方面：（1）Monge型曲線的定性作圖，方法要素有：（a）垂直與斜漸近線?；谧钪祮栴}獲得點到直線的距離公式，基于距離公式的極限引入斜漸近線的極限表示；基于上述極限的性質獲得漸近線的確定方法（斜率與截距）；另涉及“垂直著陸”的表述；（b）單調性同一階導數(shù)（符號）之間的關系；（c）凹凸性同二階導數(shù)（符號）之間的關系。此處，需給出單調性以及凹凸性的定義。（2）參數(shù)形式曲線的定性作圖，原則上首先作出兩個分量關于參數(shù)的函數(shù)圖像，然后進行綜合。相關參數(shù)區(qū)間上的單調性、凹凸性（均基于曲線的局部Monge型表示），需要涉及參數(shù)形式函數(shù)的一階、二階導數(shù)。

§ 09-第二層面 限定時間的內容講述與討論

（1）函數(shù)的凹凸性

（2）獲得數(shù)型與函數(shù)型不等式的方法

（3）平面曲線定性作圖的方法? ① Monge型曲線的定性作圖；② 參數(shù)形式曲線的定性作圖

§ 09-教學視頻目錄

基本內容：函數(shù)幾何性質-2021-2022學年第一學期

基本內容：一元函數(shù)微分學的全局行為-2021-2022學年第一學期

基本內容：一元微分學的結構-2021-2022學年第一學期

§?09-習題文件

§?09-知識圖示化

待補充