非常感謝一位朋友（無知者無欲）在視頻下方的指出！

根據(jù)題目本身的條件以及最簡三角方程的知識，由cosf(x+T)=cosf(x)確實除了得到f(x+T)=f(x)+2kπ即f(x+T)-f(x)=2kπ之外，還有可能是f(x+T)=-f(x)+2kπ即f(x+T)+f(x)=2kπ。
我的解題過程在（1）與（2）以及（3）證明充要條件的時候都沒有用到這個結論，只在最后證明f(x+T)=f(x)+f(T)的時候用到了這個結論，所以僅就這一點加以補充和更正。
這里可以做一些如下的修正：
首先（3）能找到xi使得f(xi)=iπ以及在xi處f(x+T)=f(x)+f(T)成立是根據(jù)（2）的結論，所以仍然是成立的?，F(xiàn)考慮x在(0,x1)，根據(jù)f(x)單調遞增且f(x1)=π，所以f(x)應該是(0,π);

此時T<x+T<x1+T，而在xi處f(x1+T)=f(x1)+f(T)=5π所以可知此時f(x+T)是(4π,5π)。

根據(jù)cosf(x+T)=cosf(x)，可知f(x+T)=f(x)+2kπ或者f(x+T)=-f(x)+2kπ。
①如果是f(x+T)=f(x)+2kπ即f(x+T)-f(x)=2kπ，由f(x)在(0,π)以及f(x+T)在(4π,5π)，所以f(x+T)-f(x)在(3π,5π)，其中符合f(x+T)-f(x)=2kπ的只有4π，所以f(x+T)=f(x)+f(T)這個結論對于x在(0,x1)都成立，同理其余區(qū)間也成立。
②如果是f(x+T)=-f(x)+2kπ即f(x+T)+f(x)=2kπ，由f(x)在(0,π)以及f(x+T)在(4π,5π)，
所以f(x+T)=f(x)在(4π,6π)，可知其中沒有符合f(x+T)+f(x)=2kπ的點（我原來寫的閉區(qū)間有問題，這里務必要修改為開區(qū)間），所以就不可能是這種情況，要舍去。

綜上可知，f(x+T)=-f(x)+2kπ即f(x+T)+f(x)=2kπ這一情況在理論上確實是存在的，但是在實際求解中因為在開區(qū)間內無解而被舍掉了，只要把原來的兩處寫錯的閉區(qū)間改為開區(qū)間即可。

最后再次感謝這位朋友的指出使得解答過程更加嚴謹！