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最近我們被客戶(hù)要求撰寫(xiě)關(guān)于ARMA-EGARCH的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

本文比較了幾個(gè)時(shí)間序列模型，以預(yù)測(cè)SP500指數(shù)的每日實(shí)際波動(dòng)率。基準(zhǔn)是SPX日收益序列的ARMA-EGARCH模型。將其與GARCH模型進(jìn)行比較? 。最后，提出了集合預(yù)測(cè)算法

假設(shè)條件

實(shí)際波動(dòng)率是看不見(jiàn)的，因此我們只能對(duì)其進(jìn)行估算。這也是波動(dòng)率建模的難點(diǎn)。如果真實(shí)值未知，則很難判斷預(yù)測(cè)質(zhì)量。盡管如此，研究人員為實(shí)際波動(dòng)率開(kāi)發(fā)了估算模型。Andersen，Bollerslev Diebold（2008）??和? Barndorff-Nielsen and Shephard（2007）??以及? Shephard and Sheppard（2009）??提出了一類(lèi)基于高頻的波動(dòng)率（HEAVY）模型，作者認(rèn)為HEAVY模型給出了??很好的??估計(jì)。

假設(shè)：HEAVY實(shí)現(xiàn)的波動(dòng)率估算器無(wú)偏且有效。

在下文中，將HEAVY估計(jì)量作為??觀察到的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（實(shí)際波動(dòng)率）?來(lái)確定預(yù)測(cè)性能。

數(shù)據(jù)來(lái)源

• SPX每日數(shù)據(jù)（平倉(cāng)收益）

• SPX盤(pán)中高頻數(shù)據(jù)（HEAVY模型估計(jì)）

• VIX

• VIX衍生品（VIX期貨）

在本文中，我主要關(guān)注前兩個(gè)。

數(shù)據(jù)采集

實(shí)際波動(dòng)率估計(jì)和每日收益

我實(shí)現(xiàn)了Shephard和Sheppard的模型，并估計(jì)了SPX的實(shí)際量。

head(SPXdata) SPX2.rv ? ? ? SPX2.r ? ? SPX2.rs SPX2.nobs SPX2.open2000-01-03 0.000157240 -0.010103618 0.000099500 ? ? ?1554 ?34191.162000-01-04 0.000298147 -0.039292183 0.000254283 ? ? ?1564 ?34195.042000-01-05 0.000307226 ?0.001749195 0.000138133 ? ? ?1552 ?34196.702000-01-06 0.000136238 ?0.001062120 0.000062000 ? ? ?1561 ?34191.432000-01-07 0.000092700 ?0.026022074 0.000024100 ? ? ?1540 ?34186.142000-01-10 0.000117787 ?0.010537636 0.000033700 ? ? ?1573 ?34191.50 ? ? ? ? ? SPX2.highlow SPX2.highopen SPX2.openprice SPX2.closeprice2000-01-03 ? 0.02718625 ? 0.005937756 ? ? ? ?1469.25 ? ? ? ? 1454.482000-01-04 ? 0.04052226 ? 0.000000000 ? ? ? ?1455.22 ? ? ? ? 1399.152000-01-05 ?-0.02550524 ? 0.009848303 ? ? ? ?1399.42 ? ? ? ? 1401.872000-01-06 ?-0.01418039 ? 0.006958070 ? ? ? ?1402.11 ? ? ? ? 1403.602000-01-07 ?-0.02806616 ? 0.026126203 ? ? ? ?1403.45 ? ? ? ? 1440.452000-01-10 ?-0.01575486 ? 0.015754861 ? ? ? ?1441.47 ? ? ? ? 1456.74 ? ? ? ? ? ? ? ? DATE ? SPX2.rvol2000-01-03 2000-01-03 0.0125395372000-01-04 2000-01-04 0.0172669342000-01-05 2000-01-05 0.0175278642000-01-06 2000-01-06 0.0116721032000-01-07 2000-01-07 0.0096280842000-01-10 2000-01-10 0.010852972

SPXdata$SPX2.rv?是估計(jì)的實(shí)際方差。?SPXdata$SPX2.r?是每日收益（平倉(cāng)）。?SPXdata$SPX2.rvol?是估計(jì)的實(shí)際波動(dòng)率

?SPXdata$SPX2.rvol

基準(zhǔn)模型：SPX每日收益率建模

ARMA-EGARCH

考慮到在條件方差中具有異方差性的每日收益，GARCH模型可以作為擬合和預(yù)測(cè)的基準(zhǔn)。

首先，收益序列是平穩(wěn)的。

Augmented Dickey-Fuller Test data: ?SPXdata$SPX2.rDickey-Fuller = -15.869, Lag order = 16, p-value = 0.01alternative hypothesis: stationary

分布顯示出尖峰和厚尾?？梢酝ㄟ^(guò)t分布回歸分布密度圖來(lái)近似? 。黑線(xiàn)是內(nèi)核平滑的密度，綠線(xiàn)是t分布密度。

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ARMA-GARCH-COPULA模型和金融時(shí)間序列案例

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01

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04

acf(SPXdata$SPX2.r)?##自相關(guān)系數(shù)圖

Box-Ljung testdata: ?SPXdata$SPX2.r X-squared = 26.096, df = 1, p-value = 3.249e-07

自相關(guān)圖顯示了每周相關(guān)性。Ljung-Box測(cè)試確認(rèn)了序列存在相關(guān)性。

Series: SPXdata$SPX2.r ARIMA(2,0,0) with zero mean Coefficients: ? ? ? ? ?ar1 ? ? ?ar2 ? ? ?-0.0839 ?-0.0633 s.e. ? 0.0154 ? 0.0154 sigma^2 estimated as 0.0001412: ?log likelihood=12624.97AIC=-25243.94 ? AICc=-25243.93 ? BIC=-25224.92

auro.arima?表示ARIMA（2,0,0）可以對(duì)收益序列中的自相關(guān)進(jìn)行建模，而eGARCH（1,1）在波動(dòng)率建模中很受歡迎。因此，我選擇具有t分布的ARMA（2,0）-eGARCH（1,1）作為基準(zhǔn)模型。

*---------------------------------** ? ? ? GARCH Model Spec ? ? ? ? ?**---------------------------------*Conditional Variance Dynamics------------------------------------GARCH Model ? ? : eGARCH(1,1)Variance Targeting ?: FALSE Conditional Mean Dynamics------------------------------------Mean Model ? ? ?: ARFIMA(2,0,0)Include Mean ? ? ? ?: TRUE GARCH-in-Mean ? ? ? : FALSE Conditional Distribution------------------------------------Distribution ? ?: ?std Includes Skew ? : ?FALSE Includes Shape ?: ?TRUE Includes Lambda : ?FALSE

我用4189個(gè)觀測(cè)值進(jìn)行了回測(cè)（從2000-01-03到2016-10-06），使用前1000個(gè)觀測(cè)值訓(xùn)練模型，然后每次向前滾動(dòng)預(yù)測(cè)一個(gè)，然后每5個(gè)觀測(cè)值重新估計(jì)模型一次 。下圖顯示?了樣本外??預(yù)測(cè)和相應(yīng)的實(shí)際波動(dòng)率。

預(yù)測(cè)顯示與實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率高度相關(guān)，超過(guò)72％。

cor(egarch_model$roll.pred$realized_vol, egarch_model$roll.pred$egarch.predicted_vol, ? ?method = "spearman")[1]?0.7228007

誤差摘要和繪圖

Min. ? ?1st Qu. ? ? Median ? ? ? Mean ? ?3rd Qu. ? ? ? Max. -0.0223800 -0.0027880 -0.0013160 -0.0009501 ?0.0003131 ?0.0477600

平均誤差平方（MSE）：

[1]?1.351901e-05

改進(jìn)：實(shí)際GARCH模型和LRD建模

實(shí)際GARCH

realGARCH?該模型由? Hansen，Huang和Shek（2012）??（HHS2012）提出，該模型?使用非對(duì)稱(chēng)動(dòng)力學(xué)表示將實(shí)際（已實(shí)現(xiàn)）波動(dòng)率測(cè)度與潛在? _真實(shí)波動(dòng)率聯(lián)系_起來(lái)。與標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型不同，它是收益和實(shí)際波動(dòng)率度量的聯(lián)合建模（本文中的HEAVY估計(jì)器）。

模型：

*---------------------------------** ? ? ? GARCH Model Spec ? ? ? ? ?**---------------------------------*Conditional Variance Dynamics------------------------------------GARCH Model ? ? : realGARCH(2,1)Variance Targeting ?: FALSE Conditional Mean Dynamics------------------------------------Mean Model ? ? ?: ARFIMA(2,0,0)Include Mean ? ? ? ?: TRUE GARCH-in-Mean ? ? ? : FALSE Conditional Distribution------------------------------------Distribution ? ?: ?norm Includes Skew ? : ?FALSE Includes Shape ?: ?FALSE Includes Lambda : ?FALSE

滾動(dòng)預(yù)測(cè)過(guò)程與上述ARMA-EGARCH模型相同。下圖顯示??了樣本外??預(yù)測(cè)和相應(yīng)的實(shí)際波動(dòng)率。

預(yù)測(cè)與實(shí)際的相關(guān)性超過(guò)77％

cor(arfima_egarch_model$roll.pred$realized_vol, arfima_egarch_model$roll.pred$arfima_egarch.predicted_vol, ? ?method = "spearman")[1]?0.7707991

誤差摘要和圖：

Min. ? ?1st Qu. ? ? Median ? ? ? Mean ? ?3rd Qu. ? ? ? Max. -1.851e-02 -1.665e-03 -4.912e-04 -1.828e-05 ?9.482e-04 ?5.462e-02

均方誤差（MSE）：

[1]?1.18308e-05

備注：

• 用于每日收益序列的ARMA-eGARCH模型和用于實(shí)際波動(dòng)率的ARFIMA-eGARCH模型利用不同的信息源。ARMA-eGARCH模型僅涉及每日收益，而ARFIMA-eGARCH模型基于HEAVY估算器，該估算器是根據(jù)日內(nèi)數(shù)據(jù)計(jì)算得出的。RealGARCH模型將它們結(jié)合在一起。

• 以均方誤差衡量，ARFIMA-eGARCH模型的性能略?xún)?yōu)于realGARCH模型。這可能是由于ARFIMA-eGARCH模型的LRD特性所致。

集成模型

隨機(jī)森林

**

拓端

，贊16

現(xiàn)在已經(jīng)建立了三個(gè)預(yù)測(cè)

• ARMA?egarch_model

• realGARCH?rgarch model

• ARFIMA-eGARCH?arfima_egarch_model

盡管這三個(gè)預(yù)測(cè)顯示出很高的相關(guān)性，但預(yù)計(jì)模型平均值會(huì)減少預(yù)測(cè)方差，從而提高準(zhǔn)確性。使用了隨機(jī)森林集成。

varImpPlot(rf$model)

隨機(jī)森林由500棵樹(shù)組成，每棵樹(shù)隨機(jī)選擇2個(gè)預(yù)測(cè)以擬合實(shí)際值。下圖是擬合和實(shí)際波動(dòng)率。

預(yù)測(cè)與實(shí)際波動(dòng)率的相關(guān)性：

[1]?0.840792

誤差圖：

均方誤差：

[1]?1.197388e-05

MSE與實(shí)際波動(dòng)率方差的比率

[1]?0.2983654

備注

涉及已實(shí)際量度信息的realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)的收益序列ARMA-eGARCH模型。與基準(zhǔn)相比，隨機(jī)森林集成的MSE減少了17％以上。

從信息源的角度來(lái)看，realGARCH模型和ARFIMA-eGARCH模型捕獲了日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)中的增量信息（通過(guò)模型，HEAVY實(shí)際波動(dòng)率估算）

進(jìn)一步研究：隱含波動(dòng)率

以上方法不包含隱含波動(dòng)率數(shù)據(jù)。隱含波動(dòng)率是根據(jù)SPX期權(quán)計(jì)算得出的。自然的看法是將隱含波動(dòng)率作為預(yù)測(cè)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的預(yù)測(cè)因子。但是，大量研究表明，無(wú)模型的隱含波動(dòng)率VIX是有偏估計(jì)量，不如基于過(guò)去實(shí)際波動(dòng)率的預(yù)測(cè)有效。Torben G. Andersen，Per Frederiksen和Arne D. Staal（2007）??同意這種觀點(diǎn)。他們的工作表明，將隱含波動(dòng)率引入時(shí)間序列分析框架不會(huì)帶來(lái)任何明顯的好處。但是，作者指出了隱含波動(dòng)率中增量信息的可能性，并提出了組合模型。

因此，進(jìn)一步的發(fā)展可能是將時(shí)間序列預(yù)測(cè)和隱含波動(dòng)率（如果存在）的預(yù)測(cè)信息相結(jié)合的集成模型。

本文摘選?《?R語(yǔ)言ARMA-EGARCH模型、集成預(yù)測(cè)算法對(duì)SPX實(shí)際波動(dòng)率進(jìn)行預(yù)測(cè)?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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