背包問題
這是一個經(jīng)典的背包問題，可以使用動態(tài)規(guī)劃來解決。以下是使用 Java 編寫的示例代碼：
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
? ? public static void main(String[] args) {
? ? ? ? Scanner scanner = new Scanner(System.in);
? ? ? ? int N = scanner.nextInt(); // 物品數(shù)量
? ? ? ? int V = scanner.nextInt(); // 背包容量
? ? ? ? int[] volumes = new int[N + 1];
? ? ? ? int[] values = new int[N + 1];
? ? ? ? for (int i = 1; i <= N; i++) {
? ? ? ? ? ? volumes[i] = scanner.nextInt();
? ? ? ? ? ? values[i] = scanner.nextInt();
? ? ? ? }
? ? ? ? int[][] dp = new int[N + 1][V + 1];
? ? ? ? for (int i = 1; i <= N; i++) {
? ? ? ? ? ? for (int j = 0; j <= V; j++) {
? ? ? ? ? ? ? ? dp[i][j] = dp[i - 1][j];
? ? ? ? ? ? ? ? if (j >= volumes[i]) {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - volumes[i]] + values[i]);
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? }
? ? ? ? System.out.println(dp[N][V]);
? ? }
}
```
在這個示例中，我們使用二維數(shù)組 `dp[i][j]` 來表示考慮前 i 件物品，在背包容量為 j 的情況下的最大價值。我們使用動態(tài)規(guī)劃的思想填充這個數(shù)組，從而求解最大價值。最終結(jié)果位于 `dp[N][V]`。
請將以上代碼保存為一個文件（例如：Main.java），然后在命令行中使用 Java 編譯器編譯它，然后運(yùn)行生成的編譯文件即可得到輸出結(jié)果。
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這是一個背包問題的變種，每種物品可以選擇無限次放入背包。您仍然可以使用動態(tài)規(guī)劃來解決。以下是使用 Java 編寫的示例代碼：
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
? ? public static void main(String[] args) {
? ? ? ? Scanner scanner = new Scanner(System.in);
? ? ? ? int N = scanner.nextInt(); // 物品種數(shù)
? ? ? ? int V = scanner.nextInt(); // 背包容量
? ? ? ? int[] volumes = new int[N + 1];
? ? ? ? int[] values = new int[N + 1];
? ? ? ? for (int i = 1; i <= N; i++) {
? ? ? ? ? ? volumes[i] = scanner.nextInt();
? ? ? ? ? ? values[i] = scanner.nextInt();
? ? ? ? }
? ? ? ? int[] dp = new int[V + 1];
? ? ? ? for (int i = 1; i <= N; i++) {
? ? ? ? ? ? for (int j = volumes[i]; j <= V; j++) {
? ? ? ? ? ? ? ? dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - volumes[i]] + values[i]);
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? }
? ? ? ? System.out.println(dp[V]);
? ? }
}
```
在這個示例中，我們只使用一維數(shù)組 `dp[j]` 來表示背包容量為 j 時的最大價值。我們使用動態(tài)規(guī)劃的思想填充這個數(shù)組，從而求解最大價值。最終結(jié)果位于 `dp[V]`。
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這是一個多重背包問題，可以使用單調(diào)隊列優(yōu)化的方法來解決。以下是使用 Java 編寫的示例代碼：
```java
import java.util.Scanner;
public class Main {
? ? public static void main(String[] args) {
? ? ? ? Scanner scanner = new Scanner(System.in);
? ? ? ? int N = scanner.nextInt(); // 物品種數(shù)
? ? ? ? int V = scanner.nextInt(); // 背包容量
? ? ? ? int[] volumes = new int[N + 1];
? ? ? ? int[] values = new int[N + 1];
? ? ? ? int[] quantities = new int[N + 1];
? ? ? ? for (int i = 1; i <= N; i++) {
? ? ? ? ? ? volumes[i] = scanner.nextInt();
? ? ? ? ? ? values[i] = scanner.nextInt();
? ? ? ? ? ? quantities[i] = scanner.nextInt();
? ? ? ? }
? ? ? ? int[] dp = new int[V + 1];
? ? ? ? for (int i = 1; i <= N; i++) {
? ? ? ? ? ? for (int j = 0; j < volumes[i]; j++) {
? ? ? ? ? ? ? ? int[] queue = new int[quantities[i] + 1];
? ? ? ? ? ? ? ? int head = 1, tail = 0;
? ? ? ? ? ? ? ? for (int k = 0; k * volumes[i] + j <= V; k++) {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? int val = dp[k * volumes[i] + j] - k * values[i];
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? while (head <= tail && queue[tail] <= val) {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? tail--;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? tail++;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? queue[tail] = val;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dp[k * volumes[i] + j] = queue[head] + k * values[i];
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? if (head <= tail && k - quantities[i] >= 0 && queue[head] == dp[(k - quantities[i]) * volumes[i] + j]) {
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? head++;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? ? ? }
? ? ? ? }
? ? ? ? System.out.println(dp[V]);
? ? }
}
```
在這個示例中，我們使用了單調(diào)隊列來優(yōu)化多重背包問題的解決。通過在每種物品的循環(huán)中，利用單調(diào)隊列維護(hù)一個滑動窗口，可以將問題轉(zhuǎn)化為 01 背包問題。最終結(jié)果位于 `dp[V]`。
請將以上代碼保存為一個文件（例如：Main.java），然后在命令行中使用 Java 編譯器編譯它，然后運(yùn)行生成的編譯文件即可得到輸出結(jié)果。
