證明牛頓-萊布尼茨公式
牛頓362、證明牛頓-萊布尼茨公式
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牛頓-萊布尼茨（cí）公式（百度百科）：…
…牛頓-萊布尼茨（cí）公式：見《牛頓358、359》…
推導(dǎo)
…推、導(dǎo)、推導(dǎo)：見《歐幾里得7》…
（…《歐幾里得》：小說名…）
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定義一個變上限積分函數(shù)Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，讓函數(shù)Φ（x）?獲得增量△x，則對應(yīng)的函數(shù)增量為：
△Φ（x）=Φ（x+△x）-Φ（x）
=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt
=∫[x，x+△x]f（t）dt （定積分對區(qū)間的可加性）
…定、義、定義：見《歐幾里得28》…
…函、數(shù)、函數(shù)：見《歐幾里得52》…
…Φ：第21個希臘字母。讀音：fài…見《牛頓359》…
…∫：積分符號，為字母s的拉長…見《牛頓338》…
…d：differential（微分）首字母…
[differential（英語）：n.（名詞）差別；差額；差價；（尤指同行業(yè)不同工種的）工資級差。
adj.（形容詞）差別的；以差別而定的；有區(qū)別的。
——《牛頓321》
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dx什么意思？？——網(wǎng)友提問
2019-09-07，想玩游戲的貓：d（x）代表對x求微分。
dy/dx?中的d是“微小的增量”的意思，也就是指微小的增量y除以微小的增量x。在函數(shù)中是，微分的意思。
dx就是對x的微分，是把增量細(xì)微化，dx就是很小很小的一個x。
——《牛頓3》]
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…變上限積分函數(shù)Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt：見《牛頓359~361》…
…△：讀音是“德爾塔”。音標(biāo)為/delt?/。
在物理學(xué)中，△常常作為變量的前綴使用，表示該變量的變化量，如：△t（時間變化量）、△T（溫度變化量）、△X（位移變化量）、△v（速度變化量）等等…見《牛頓8》…
…性：1.物質(zhì)所具有的性能；物質(zhì)因含有某種成分而產(chǎn)生的性質(zhì)：黏～。彈～。藥～。堿～。油～。2.后綴，加在名詞、動詞或形容詞之后構(gòu)成抽象名詞或?qū)傩栽~，表示事物的某種性質(zhì)或性能：黨～。紀(jì)律～。創(chuàng)造～。適應(yīng)～。優(yōu)越～。普遍～。先天～。流行～…見《歐幾里得10》…
……
推導(dǎo)一
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定義一個變上限積分函數(shù)Φ（x）=∫[a，x]f（t）dt，讓函數(shù)Φ（x）?獲得增量△x，則對應(yīng)的函數(shù)增量為：
△Φ（x）=Φ（x+△x）-Φ（x）
=∫[a，x+△x]f（t）dt-∫[a，x]f（t）dt
=∫[x，x+△x]f（t）dt （定積分對區(qū)間的可加性）
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根據(jù)積分中值定理可得：△Φ（x）=∫[x，x+△x]f（t）dt=f（ξ）△x，（ξ在x和x+△x之間）
…ξ：大寫Ξ，小寫ξ，是第十四個希臘字母，中文音譯：克西。
小寫ξ用于：數(shù)學(xué)上的隨機變量…
{定積分中值定理：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使∫[a，b]f（x）dx=f（ξ）（b-a）。（a≤ξ≤b）
證明見《牛頓351》。}
根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，得：
?Φ’（x）=lim（△x→0）△Φ（x）/△x
????????=lim（△x→0）f（ξ）△x/△x
????????=lim（△x→0）f（ξ）
????????=lim（ξ→x）f（ξ）
????????=f（x）
（“‘△x→0’和‘ξ→x’是同種數(shù)學(xué)事實的不同表達(dá)，所以等價。”現(xiàn)代學(xué)者說。）
…導(dǎo)、數(shù)、導(dǎo)數(shù)：見《牛頓288~294》…
…lim：limit…
[…limit（英文）：n.限度；限制；極限；限量；限額；（地區(qū)或地方的）境界，界限，范圍。
v.限制；限定；限量；減量…]
即：Φ’（x）=f（x）
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由不定積分的定義，得：
∴ Φ（x）=F（x）+C
∵ Φ（a）=F（a）+C=0
∴ C=-F（a）
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∴ Φ（x）=F（x）+C=F（x）-F（a）
Φ（x）=F（x）-F（a）
∴ Φ（b）=F（b）-F（a）
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即：∫[a，b]f（x）dx=F（b）-F（a）
證畢。
“1670年，英國數(shù)學(xué)家伊薩克·巴羅在他的著作《幾何學(xué)講義》中以幾何形式表達(dá)了切線問題是面積問題的逆命題，這實際是牛頓-萊布尼茨公式的幾何表述。?
請看下集《牛頓363、牛頓-萊布尼茨公式發(fā)展簡史》”
若不知曉歷史，便看不清未來
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