前面提到，歐氏幾何給了人們一種全新的認識世界的方法。它從僅有的幾條看上去顯而易見正確的公理出發(fā)，就得到了整個邏輯體系。長期以來，歐氏幾何被認為是人類認識絕對真理的范例，甚至提升到了一個至高無上的地步。《幾何原本》的中文翻譯者徐光啟認為：“此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改?！?/p>

不過，有一項研究是人們長期以來都在進行的，那就是關于第五公設的研究。第五公設斷言：

如果一條線段與兩條直線相交，在某一側的內角和小于兩直角和，那么這兩條直線在不斷延伸后，會在內角和小于兩直角和的一側相交。

這顯然太長了，而且和其它的公理和公設不同，這一條公設可以說是相當不顯然，非常不像一個“不證自明”的道理。這引發(fā)了數(shù)學家們的廣泛思考：能否利用其它公理證明這個公設呢？

第一個想到這個問題的應該還是歐幾里得。歐幾里得在“由圓外一點向圓作切線”這一問題的解答中采取了一個非常繞彎路的方法，這個原因就是歐幾里得盡可能地去避免使用三角形的內角和是180°這一結論（因為這一結論與第五公設是等價的）。

有很多人嘗試去證明第五公設，其中最杰出的工作可能來自于阿拉伯數(shù)學家海什木和奧馬爾·海亞姆（什么？你沒有聽說過他們？這很正常，畢竟西方世界的宣傳直接把阿拉伯對人類文明的貢獻抹殺掉了），奧馬爾·海亞姆提出了海亞姆-薩凱里四邊形，這成為研究第五公設的基礎。

隨后這一問題的研究限于停滯，人們找到了很多和第五公設等價的命題。與此相反的是，由于畫畫和其它問題的需求，射影幾何、畫法幾何開始興起，后來伴隨著分析這一學科的興起，微分幾何、黎曼幾何開始越來越精彩，非歐幾何反而長期沒能突破。

終于，在很多年后，終于有人認識到第五公設是不可證明的，同時這也意味著，如果改變第五公設，那么可以得到另一套邏輯自洽的幾何。意識到這一點的人包括高斯、亞諾什·鮑耶和羅巴切夫斯基等人。

這個瘋狂的結果迅速對數(shù)學界產生了巨大的沖擊。高斯因為擔心輿論的壓力而沒有公開他的結果，亞諾什·鮑耶意識到這個結果后原本高興地去跟高斯分享，但高斯給他潑了一盆冷水：“最好不要公開這個結果。”羅巴切夫斯基是第一個公開發(fā)表這個結果的人，但是他的一生卻飽受打擊，最終郁郁而終。若不是黎曼幾何的飛速發(fā)展，恐怕羅巴切夫斯基的工作就要被淹沒在歷史的潮流中了。

這里順便一提，歐幾里得的幾何被稱為歐氏幾何，羅巴切夫斯基提出的幾何被稱為雙曲幾何，后來黎曼在發(fā)展黎曼幾何的過程中把它們和在大航海時代廣泛發(fā)展的球面幾何統(tǒng)一在了一起。其中的雙曲幾何和球面幾何被統(tǒng)稱為非歐幾何（但是因為球面本身可以嵌入歐氏空間，所以長期以來人們并沒有意識到這是另一種幾何）。

為什么非歐幾何的發(fā)現(xiàn)給數(shù)學界帶來的如此大的沖擊？因為數(shù)學界長期認為，數(shù)學是認識世界的最重要手段。當你在紙上隨手畫出一個幾何圖形時，應該就有唯一一套的理論來描述這個圖形。這個圖形應該是一個客觀的存在。不能認為它的面積有時候是1，有時候是2，這顯然是荒謬的。

同樣，過直線外一點能做多少條平行線也應該是一個確定的問題，不應該在歐氏幾何中是一條，在雙曲幾何中是無數(shù)條，在球面幾何中是零條。類似地，三角形的內角和究竟小于180°、等于180°還是大于180°呢？這個問題總應該有一個確定的答案吧。但是很遺憾，上面的三種幾何分別給出了三個不同的答案。

這就奇怪了，世界上居然存在著這么多不同的幾何。于是一個核心問題就顯現(xiàn)了出來：哪種幾何是真的呢？

從數(shù)學上說，每一種幾何都是真的。每一種幾何都是基于若干公理，經過邏輯推導得到的結果。這些推導都是符合邏輯、沒有矛盾的，自然都是對的。

數(shù)學和自然這時候產生了一個巨大的矛盾。這個矛盾的根源是數(shù)學是一個邏輯系統(tǒng)。

《幾何原本》中對點和直線給出了很多含糊不清的定義。假設我們忘卻這些定義，假裝不知道它們是什么，那么公理實際上就是在描述這些點和直線滿足什么樣的性質。在這種情況下，怎么能談這些公理的對錯呢？幾何體系本身就是一個邏輯體系，如果對原始的術語不給出定義，那么就無所謂真假問題。

也就是說，要了解非歐幾何，就要忽略任何的幾何直觀性，要嚴格地從邏輯體系中推導出非歐幾何的結論。這里有很多的“坑”容易掉進去（其中最經典的例子是我們上次提到的Pasch定理）。我們必須反復強調、反復提醒自己這是一個邏輯系統(tǒng)，和我們生活的現(xiàn)實生活毫無關系。

那么回到前面的問題：哪一種幾何是真的呢？答案便是，哪一種邏輯系統(tǒng)更加符合人的認知、更加滿足人的需要，哪一種就是真的。

在牛頓力學的時代，所有的空間默認是歐氏空間，這非常符合幾何直觀，也方便我們使用，當然它是正確的；

在大航海時代，出于航海需求，需要對地球進行一系列估計，這是球面幾何自然是正確的（盡管當時的人們并沒有認識到這一點）；

在當代，相對論給出了曲率張量和動量-能量張量的關系（即Einstein方程），這時候物理學家們認為黎曼幾何是正確的。

也就是說，數(shù)學本身只給了一個邏輯系統(tǒng)，至于哪一個更加符合現(xiàn)實，這取決于人的認識。在古希臘，人們的認識沒有這么高，認為歐氏幾何是更加符合現(xiàn)實的。現(xiàn)在我們已經無所謂哪種幾何是更正確的，只看人們的需要。

這個觀點的沖擊實在是巨大。從這里開始，數(shù)學不再是一門人類認識世界的學科，而是變成了支撐人類認識世界的學科。物理、化學和其它學科從這里不斷地汲取營養(yǎng)，幫助我們更好地認識世界。

那么，公理又是什么呢？既然數(shù)學不再是研究自然的科學，那么那些“不證自明”的道理都值得懷疑了：哪還有什么“不證自明”的東西？反正數(shù)學不過是一些邏輯系統(tǒng)，那公理完全可以隨便定義的呀。

很遺憾，事實正是這樣。現(xiàn)代數(shù)學認為公理不過是某些數(shù)學對象滿足的一些約束條件。這些約束條件具有很大的任意性，基本上隨便規(guī)定都可以得到一個全新的公理系統(tǒng)。不過，現(xiàn)代數(shù)學的公理系統(tǒng)還是需要一些約束的，不能太任意了，具體的要求可以分為兩個層次：

1. 公理系統(tǒng)不能自相矛盾、公理不能從別的公理推出，這是最基本的要求，除此之外有的還要求公理系統(tǒng)中的命題總是可判定的，不過后面這一條已經和現(xiàn)代的邏輯聯(lián)系在一起了，這里先忽略它；

2. 公理系統(tǒng)要盡可能與數(shù)學命題相關（直白地說就是有用），平白無故的一個公理系統(tǒng)是沒有什么研究價值的，只有那些和數(shù)學問題密切相關的公理系統(tǒng)才有用。

上述公理系統(tǒng)的基本觀點已經極大地深入數(shù)學體系，從ZFC公理化集合論，到幾何的拓撲公理、代數(shù)的群公理、分析的序公理，都是當代數(shù)學的基石。也就是說，經過非歐幾何，數(shù)學不再必須局限在現(xiàn)實世界，數(shù)學第一次擁有了完全地探索人類心智的自由。