難度：★☆

適合年級(jí)：初中

欺騙性：☆

今天給大家?guī)?lái)一道二次方程的題目，考察的方向其實(shí)是韋達(dá)定理（當(dāng)然存在比韋達(dá)定理更好的思考方式，后面會(huì)提到）

題目如下：已知二次ax2+bx+c=0的根為1、2，求二次方程cx2+bx+a=0的兩根？（a,c≠0）

這道題可以用韋達(dá)定理來(lái)解，設(shè)后者方程的兩根為x?,x?

由前者方程我們可以知道? -（a/b）=3，a/c=2

而后者方程利用韋達(dá)定理也可以知道：-（b/c）=x?+x? , c/a=x?·x?

很顯然可以知道x?·x?=1/2(倒數(shù)），然后-（b/c）實(shí)際上可以通過(guò)-（a/b）÷（a/c）獲得，因此可以獲得x?+x?=3/2，然后就是一個(gè)二元一次方程組啦~解一下就可以啦~

進(jìn)一步思考

這道題十分有趣，因?yàn)樗南禂?shù)被“鏡像反轉(zhuǎn)”了，那么這樣的方程有什么特點(diǎn)嗎？現(xiàn)在我把題目改一下：

已知二次ax2+bx+c=0的根為x?、x?，求二次方程cx2+bx+a=0的兩根？（a,c≠0）

按照上面的解法：

由前者方程我們可以知道??-（a/b）=x?+x?，a/c=x?·x?

而后者方程利用韋達(dá)定理也可以知道：-（b/c）=x?`+x?`?,?c/a=x?`·x?`

很顯然可以知道x?`·x?`=1/x?·x?(倒數(shù)），然后-（b/c）實(shí)際上可以通過(guò)-（a/b）÷（a/c）獲得，因此可以獲得x?`+x?`=(x?+x?)/x?·x?，然后就是一個(gè)二元一次方程組啦~解一下就可以啦~

解完后我們會(huì)驚奇的發(fā)現(xiàn)！x?`=1/x? , x?`=1/x?，竟然全部都是倒數(shù)！這是為什么呢？

換一種思路

實(shí)際上對(duì)于二次方程ax2+bx+c=0? (a,c≠0,x?,x?≠0)我們可以兩邊同除以x2

即a+b/x+c/x2=0,再轉(zhuǎn)化一下：c(1/x)2+b(1/x)+a=0，這不就是后者方程嗎？只不過(guò)他們的x都轉(zhuǎn)為了1/x！

這樣的話我們就可以得到結(jié)論了：對(duì)于二次方程ax2+bx+c=0??(a,c≠0,x?,x?≠0)，二次方程cx2+bx+a=0的兩根正是它的兩根的倒數(shù)。

延伸思考

各位同學(xué)，本題僅僅是交換了系數(shù)，題目不變，你能研究出以下方程的兩根特點(diǎn)嗎

1. ax2-bx+c=0

2. cx2-bx+a=0

喜歡的話希望能點(diǎn)個(gè)關(guān)注哦~謝謝大家