已知 ，求證：。

解法會(huì)在下面給出，大家可以選擇先自己思考一下這個(gè)問題。

證明：注意到該不等式兩邊都是形如 ?的形式，故可設(shè)，原不等式即化為 。

考慮 ?的單調(diào)性，易知它在 ?上單調(diào)遞減，在 ?上單調(diào)遞增，并在 ?時(shí)取得最小值。接下來我們研究 和?的大小關(guān)系。

對于 ，有：；

而對于 ，設(shè)函數(shù) ，則 ，而且 。因?yàn)?，易知 ?在 ?上單調(diào)遞減，所以有 。

因?yàn)?，所以原不等式化為 ，即：

設(shè)函數(shù) ，則上面的不等式化為 。接下來我們分析 ?的單調(diào)性。

對 求導(dǎo)，可得 。當(dāng) ?時(shí)有 ，所以我們設(shè) ，則 。因?yàn)?，而易證 ?時(shí)有 ?恒成立，所以有 ?在 ?時(shí)恒成立，也就是 ?在 ?上單調(diào)遞增。? ?

因?yàn)?，所以 。原命題得證。

補(bǔ)充：對 ?在 ?時(shí)恒成立的證明。? ?

首先證明 ?在 ?時(shí)恒成立。設(shè) ，則 。令 ?可得 。顯然 ?在 ?上單調(diào)遞增，所以 ?在 ?時(shí)恒成立。又因?yàn)?，所以 ?在 ?時(shí)恒成立，也即 ?在 ?時(shí)恒成立。? ?

有了這個(gè)式子，則 。