//只能拉一點點，不能拉多了！

//開學(xué)之后果然有點更不動了

6.1 定義與基本性質(zhì)

前面知道函數(shù)可以進(jìn)行傅里葉變換的條件比較嚴(yán)格：絕對可積并在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件。

而拉普拉斯變換存在的條件更寬。它通常用于求解初值問題，即函數(shù)滿足

為了能進(jìn)行傅里葉變換，構(gòu)造函數(shù)：

其中參數(shù)足夠大，保證了在絕對可積。

對它進(jìn)行傅里葉變換：

令，

則上式稱為拉普拉斯積分，為的拉普拉斯變換函數(shù)。

以上積分變換稱為拉普拉斯變換，是變換的核。

再由的傅里葉變換的逆變換可以推出拉普拉斯變換的逆變換：

又被稱為像函數(shù)，是原函數(shù)，變換關(guān)系可以寫為

或者寫為，

拉普拉斯變換存在仍有條件：

拉普拉斯變換的基本性質(zhì)列舉如下：

（線性定理）

（微分定理）

（積分定理）

（相似定理）

（位移定理）

（延遲定理）

（卷積定理）

最后一式左邊的運算是前面一章提過的卷積。以上所有性質(zhì)都與傅里葉變換類似，均體現(xiàn)了這一類積分變換的線性特性。證明方法也類似。

6.2 拉普拉斯變換的反演

利用微分定理與積分定理可以將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，從而較方便地解出，再通過反演求出. 為了完成反演，先列出幾個重要例題：

① 求

要保證絕對可積，需有

右邊積分恰好是(當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時.)

所以.?

② 求

根據(jù)位移定理，

③ 求，是存在拉普拉斯 變換的任意函數(shù)。

由拉普拉斯變換的定義式：

兩邊對p求n階微分，得到

所以

④ 求

利用,

代入②中取，得到

接下來介紹常見的求反演的方法：

① 有理分式

眾所周知，有理分式可以分解為幾類函數(shù)的和。再借助線性定理、位移定理和前面幾個例題就可以完成對有理分式的反演。

② 查表：利用延遲、位移、卷積等定理，結(jié)合已有的表解決問題。

我們教材上的表：

③ 黎曼-梅林反演公式

前面導(dǎo)出的這一式就被稱為黎曼-梅林反演公式。

此外，在求積分時可以用到留數(shù)定理，可以證明：

式中求和對在的左半平面所有奇點進(jìn)行。且滿足推廣的約當(dāng)引理的成立條件：

3. 應(yīng)用

由于拉普拉斯變換的微分與積分定理，適合處理線性微分方程。例如：

設(shè)， 則

再進(jìn)行反演就可以得到原先微分方程的解了。

(其實按照我的理解，雖然通過積分變換將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，但是本質(zhì)上只是將求積分的操作轉(zhuǎn)移到了拉普拉斯變換這一操作中，而對原方程的變形等操作則等價于求解變換后的代數(shù)方程。而初值的影響則體現(xiàn)在拉普拉斯變換的微分定理中的. 總體來說，把“方程如何變形”的問題轉(zhuǎn)化成“如何求含的代數(shù)方程”，是拉普拉斯變換簡化微分方程求解的原理。)

參考文獻(xiàn)

[1] 梁昆淼. 數(shù)學(xué)物理方法（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.8，90~100.