偶然發(fā)現(xiàn)B站是可以latex的，所以決定以隨筆的形式寫點東西，今天先說說最先要學的概念集合的上下極限問題，那么就先看數(shù)列的上下極限，上極限叫做limitsup，僅僅從語法上看就是 sup的limit，一個數(shù)列，從某個指標往后取所有數(shù)的極大值，如果沒有極大值就算，記作,那就得到了一個新的數(shù)列:是一個單調(diào)遞減的，所以自然有極限這個極限就是上極限?，F(xiàn)在面對集合列，取從某個指標往后所有集合的并集：,可以得到一個遞減的集合，所以自然會有一個極限：,這就是集合的上極限的定義。寫出來就是

現(xiàn)在反過來看這個表達式應該如何解釋呢，我們說?也就是對任何指標,都有

,說,就是存在一個指標，使得。類似于數(shù)學分析里的和語言，所以上極限中的元素應該這樣解釋：對任何指標都存在某個指標，使得

通俗的說就是這列集合不管從那個序號往后總能找到一個集合能夠包含該點。所以類似的也可以理解下極限的定義：存在某個序列往后所有的集合都包含該點。形象的來看，上極限就是這些集合不斷擺動總能夠覆蓋的區(qū)域，而下極限就是所有集合能夠共同覆蓋的區(qū)域。所以如果上下極限相等的意思就說集合的擺動會越來越小。

下面是兩個小的Tips，我們知道數(shù)列的上下極限在取負號的意義下對偶，而集合也一樣在取補集合的情況下上下極限對偶。可以用逐點的方式定義函數(shù)列的上下極限，根據(jù)一個集合也可以定義特征函數(shù)，也就是在集合內(nèi)的點取，集合外的點取值，你們可以自己證明特征函數(shù)的上極限就剛好對應上極限的特征函數(shù)。