2023年第十三屆MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽

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賽題思路

（賽題出來(lái)以后第一時(shí)間分享）

一、競(jìng)賽信息

MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“競(jìng)賽”）是由中國(guó)優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會(huì)主辦的面向全日制普通高等院校在校學(xué)生的學(xué)科競(jìng)賽活動(dòng)。競(jìng)賽堅(jiān)持學(xué)會(huì)創(chuàng)始人華羅庚教授數(shù)學(xué)與行業(yè)應(yīng)用實(shí)際緊密結(jié)合的思想，通過(guò)面向?qū)嶋H問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)，拓寬社會(huì)挖掘與培養(yǎng)優(yōu)秀人才的渠道，搭建展示高校學(xué)生基礎(chǔ)學(xué)術(shù)訓(xùn)練的平臺(tái)，鼓勵(lì)廣大學(xué)生踴躍參加課外科技活動(dòng)，提高學(xué)生運(yùn)用理論知識(shí)解決社會(huì)實(shí)際問(wèn)題的能力，在擴(kuò)大學(xué)生科研視野同時(shí)，培養(yǎng)其創(chuàng)造精神及合作意識(shí)。

競(jìng)賽題目大都來(lái)源于企業(yè)實(shí)際問(wèn)題，并每年舉辦“數(shù)學(xué)建模在企業(yè)中的應(yīng)用研討會(huì)”，邀請(qǐng)阿里巴巴、MathWorks、滴滴出行等資深算法專(zhuān)家作報(bào)告，分享數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

本次競(jìng)賽目的在于搭建展現(xiàn)高校學(xué)生學(xué)科基礎(chǔ)的平臺(tái)，提高學(xué)生運(yùn)用理論知識(shí)解決社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題的能力，拓寬高校學(xué)生科研視野同時(shí)鼓勵(lì)廣大學(xué)生踴躍參加課外科技活動(dòng)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神及合作意識(shí)。經(jīng)過(guò)十年多的發(fā)展，競(jìng)賽已成為全國(guó)范圍內(nèi)極具影響力的基礎(chǔ)學(xué)科與應(yīng)用科技的賽事。

二、競(jìng)賽時(shí)間

報(bào)名時(shí)間：2022年12月30日 0:00 至 2023年4月12日 12:00

競(jìng)賽時(shí)間：2023年4月13日 8:00 至 4月17日 9:00

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三、組織機(jī)構(gòu)

主辦單位：中國(guó)優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會(huì)

中國(guó)優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會(huì)是在中國(guó)科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)直接領(lǐng)導(dǎo)下的學(xué)術(shù)性社會(huì)團(tuán)體，是國(guó)家一級(jí)學(xué)會(huì)。學(xué)會(huì)由華羅庚教授于1981年發(fā)起成立，至今成立了評(píng)價(jià)方法與應(yīng)用、項(xiàng)目管理、計(jì)算機(jī)模擬、統(tǒng)籌、管理決策與信息系統(tǒng)、工業(yè)工程、高等教育管理、數(shù)學(xué)教育、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)與管理數(shù)學(xué)、應(yīng)急管理、灰色系統(tǒng)研究，復(fù)雜系統(tǒng)研究等十余個(gè)專(zhuān)業(yè)分會(huì)。競(jìng)賽是由中國(guó)優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會(huì)主辦，MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽組委會(huì)具體負(fù)責(zé)競(jìng)賽的組織。

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四、建模常見(jiàn)問(wèn)題類(lèi)型

趁現(xiàn)在賽題還沒(méi)更新，A君給大家匯總一下MathorCup數(shù)學(xué)建模經(jīng)常使用到的數(shù)學(xué)模型，題目八九不離十基本屬于一下四種問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的解法A君也相應(yīng)給出

分別為：

* 分類(lèi)模型

* 優(yōu)化模型

* 預(yù)測(cè)模型

* 評(píng)價(jià)模型

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4.1 分類(lèi)問(wèn)題

判別分析：

又稱(chēng)“分辨法”，是在分類(lèi)確定的條件下，根據(jù)某一研究對(duì)象的各種特征值判別其類(lèi)型歸屬問(wèn)題的一種多變量統(tǒng)計(jì)分析方法。

其基本原理是按照一定的判別準(zhǔn)則，建立一個(gè)或多個(gè)判別函數(shù)；用研究對(duì)象的大量資料確定判別函數(shù)中的待定系數(shù)，并計(jì)算判別指標(biāo)；據(jù)此即可確定某一樣本屬于何類(lèi)。當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)新的樣品數(shù)據(jù)，要確定該樣品屬于已知類(lèi)型中哪一類(lèi)，這類(lèi)問(wèn)題屬于判別分析問(wèn)題。

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聚類(lèi)分析：

聚類(lèi)分析或聚類(lèi)是把相似的對(duì)象通過(guò)靜態(tài)分類(lèi)的方法分成不同的組別或者更多的子集，這樣讓在同一個(gè)子集中的成員對(duì)象都有相似的一些屬性，常見(jiàn)的包括在坐標(biāo)系中更加短的空間距離等。

聚類(lèi)分析本身不是某一種特定的算法，而是一個(gè)大體上的需要解決的任務(wù)。它可以通過(guò)不同的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，這些算法在理解集群的構(gòu)成以及如何有效地找到它們等方面有很大的不同。

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神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類(lèi)：

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)算法。其由輸入層、中間層、輸出層組成的階層型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，中間層可擴(kuò)展為多層。RBF（徑向基）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：徑向基函數(shù)(RBF-Radial Basis Function)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是具有單隱層的三層前饋網(wǎng)絡(luò)。它模擬了人腦中局部調(diào)整、相互覆蓋接收域的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。感知器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：是一個(gè)具有單層計(jì)算神經(jīng)元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)是線性閾值單元。主要用來(lái)模擬人腦的感知特征。線性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：是比較簡(jiǎn)單的一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，由一個(gè)或者多個(gè)線性神經(jīng)元構(gòu)成。采用線性函數(shù)作為傳遞函數(shù)，所以輸出可以是任意值。自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：自組織神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括自組織競(jìng)爭(zhēng)網(wǎng)絡(luò)、自組織特征映射網(wǎng)絡(luò)、學(xué)習(xí)向量量化等網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式。K近鄰算法：　K最近鄰分類(lèi)算法，是一個(gè)理論上比較成熟的方法，也是最簡(jiǎn)單的機(jī)器學(xué)習(xí)算法之一。

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4.2 優(yōu)化問(wèn)題

線性規(guī)劃：

研究線性約束條件下線性目標(biāo)函數(shù)的極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)理論和方法。英文縮寫(xiě)LP。它是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支，廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)計(jì)劃、物流運(yùn)輸、資源分配、金融投資等領(lǐng)域。建模方法：列出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；畫(huà)出約束條件所表示的可行域；在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解及最優(yōu)值。

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整數(shù)規(guī)劃：

規(guī)劃中的變量（全部或部分）限制為整數(shù)，稱(chēng)為整數(shù)規(guī)劃。若在線性模型中，變量限制為整數(shù)，則稱(chēng)為整數(shù)線性規(guī)劃。目前所流行的求解整數(shù)規(guī)劃的方法往往只適用于整數(shù)線性規(guī)劃。一類(lèi)要求問(wèn)題的解中的全部或一部分變量為整數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃。從約束條件的構(gòu)成又可細(xì)分為線性，二次和非線性的整數(shù)規(guī)劃。

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非線性規(guī)劃：

非線性規(guī)劃是具有非線性約束條件或目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)規(guī)劃，是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要分支。非線性規(guī)劃研究一個(gè) n元實(shí)函數(shù)在一組等式或不等式的約束條件下的極值問(wèn)題，且 目標(biāo)函數(shù)和約束條件至少有一個(gè)是未知量的非線性函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是 線性函數(shù)的情形則屬于線性規(guī)劃。

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動(dòng)態(tài)規(guī)劃：

包括背包問(wèn)題、生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)問(wèn)題、資金管理問(wèn)題、資源分配問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題和復(fù)雜系統(tǒng)可靠性問(wèn)題等。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時(shí)間劃分階段的動(dòng)態(tài)過(guò)程的優(yōu)化問(wèn)題，但是一些與時(shí)間無(wú)關(guān)的靜態(tài)規(guī)劃(如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃)，只要人為地引進(jìn)時(shí)間因素，把它視為多階段決策過(guò)程，也可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法方便地求解。

多目標(biāo)規(guī)劃：

多目標(biāo)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個(gè)分支。研究多于一個(gè)的目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最優(yōu)化。任何多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，都由兩個(gè)基本部分組成：

（1）兩個(gè)以上的目標(biāo)函數(shù)；

（2）若干個(gè)約束條件。有n個(gè)決策變量，k個(gè)目標(biāo)函數(shù)， m個(gè)約束方程，則：

Z=F(X）是k維函數(shù)向量，Φ（X）是m維函數(shù)向量；G是m維常數(shù)向量；

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4.3 預(yù)測(cè)問(wèn)題

回歸擬合預(yù)測(cè)

擬合預(yù)測(cè)是建立一個(gè)模型去逼近實(shí)際數(shù)據(jù)序列的過(guò)程，適用于發(fā)展性的體系。建立模型時(shí)，通常都要指定一個(gè)有明確意義的時(shí)間原點(diǎn)和時(shí)間單位。而且，當(dāng)t趨向于無(wú)窮大時(shí)，模型應(yīng)當(dāng)仍然有意義。將擬合預(yù)測(cè)單獨(dú)作為一類(lèi)體系研究，其意義在于強(qiáng)調(diào)其唯“象”性。一個(gè)預(yù)測(cè)模型的建立，要盡可能符合實(shí)際體系，這是擬合的原則。擬合的程度可以用最小二乘方、最大擬然性、最小絕對(duì)偏差來(lái)衡量。

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灰色預(yù)測(cè)

灰色預(yù)測(cè)是就灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測(cè)。是一種對(duì)含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法?；疑A(yù)測(cè)通過(guò)鑒別系統(tǒng)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相異程度，即進(jìn)行關(guān)聯(lián)分析，并對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理來(lái)尋找系統(tǒng)變動(dòng)的規(guī)律，生成有較強(qiáng)規(guī)律性的數(shù)據(jù)序列，然后建立相應(yīng)的微分方程模型，從而預(yù)測(cè)事物未來(lái)發(fā)展趨勢(shì)的狀況。其用等時(shí)距觀測(cè)到的反映預(yù)測(cè)對(duì)象特征的一系列數(shù)量值構(gòu)造灰色預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)某一時(shí)刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時(shí)間。

馬爾科夫預(yù)測(cè)：是一種可以用來(lái)進(jìn)行組織的內(nèi)部人力資源供給預(yù)測(cè)的方法.它的基本 思想是找出過(guò)去人事變動(dòng)的 規(guī)律,以此來(lái)推測(cè)未來(lái)的人事變動(dòng)趨勢(shì).轉(zhuǎn)換矩陣實(shí)際上是轉(zhuǎn)換概率矩陣,描述的是組織中員工流入,流出和內(nèi)部流動(dòng)的整體形式,可以作為預(yù)測(cè)內(nèi)部勞動(dòng)力供給的基礎(chǔ).

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BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)

BP網(wǎng)絡(luò)（Back-ProPagation Network）又稱(chēng)反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)， 通過(guò)樣本數(shù)據(jù)的訓(xùn)練，不斷修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值使誤差函數(shù)沿負(fù)梯度方向下降，逼近期望輸出。它是一種應(yīng)用較為廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，多用于函數(shù)逼近、模型識(shí)別分類(lèi)、數(shù)據(jù)壓縮和時(shí)間序列預(yù)測(cè)等。

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支持向量機(jī)法

支持向量機(jī)(SVM)也稱(chēng)為支持向量網(wǎng)絡(luò)[1]，是使用分類(lèi)與回歸分析來(lái)分析數(shù)據(jù)的監(jiān)督學(xué)習(xí)模型及其相關(guān)的學(xué)習(xí)算法。在給定一組訓(xùn)練樣本后，每個(gè)訓(xùn)練樣本被標(biāo)記為屬于兩個(gè)類(lèi)別中的一個(gè)或另一個(gè)。支持向量機(jī)(SVM)的訓(xùn)練算法會(huì)創(chuàng)建一個(gè)將新的樣本分配給兩個(gè)類(lèi)別之一的模型，使其成為非概率二元線性分類(lèi)器(盡管在概率分類(lèi)設(shè)置中，存在像普拉托校正這樣的方法使用支持向量機(jī))。支持向量機(jī)模型將樣本表示為在空間中的映射的點(diǎn)，這樣具有單一類(lèi)別的樣本能盡可能明顯的間隔分開(kāi)出來(lái)。所有這樣新的樣本映射到同一空間，就可以基于它們落在間隔的哪一側(cè)來(lái)預(yù)測(cè)屬于哪一類(lèi)別。

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3.4 評(píng)價(jià)問(wèn)題

層次分析法

是指將一個(gè)復(fù)雜的 多目標(biāo)決策問(wèn)題 作為一個(gè)系統(tǒng)，將目標(biāo)分解為多個(gè)目標(biāo)或準(zhǔn)則，進(jìn)而分解為多指標(biāo)（或準(zhǔn)則、約束）的若干層次，通過(guò)定性指標(biāo)模糊量化方法算出層次單排序（權(quán)數(shù)）和總排序，以作為目標(biāo)（多指標(biāo)）、多方案優(yōu)化決策的系統(tǒng)方法。

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優(yōu)劣解距離法

又稱(chēng)理想解法，是一種有效的多指標(biāo)評(píng)價(jià)方法。這種方法通過(guò)構(gòu)造評(píng)價(jià)問(wèn)題的正理想解和負(fù)理想解，即各指標(biāo)的最大值和最小值，通過(guò)計(jì)算每個(gè)方案到理想方案的相對(duì)貼近度，即靠近正理想解和遠(yuǎn)離負(fù)理想解的程度，來(lái)對(duì)方案進(jìn)行排序，從而選出最優(yōu)方案。

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模糊綜合評(píng)價(jià)法

是一種基于模糊數(shù)學(xué)的綜合評(píng)標(biāo)方法。 該綜合評(píng)價(jià)法根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的隸屬度理論把定性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為定量評(píng)價(jià)，即用模糊數(shù)學(xué)對(duì)受到多種因素制約的事物或?qū)ο笞龀鲆粋€(gè)總體的評(píng)價(jià)。 它具有結(jié)果清晰,系統(tǒng)性強(qiáng)的特點(diǎn),能較好地解決模糊的、難以量化的問(wèn)題,適合各種非確定性問(wèn)題的解決。

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灰色關(guān)聯(lián)分析法（灰色綜合評(píng)價(jià)法）

對(duì)于兩個(gè)系統(tǒng)之間的因素，其隨時(shí)間或不同對(duì)象而變化的關(guān)聯(lián)性大小的量度，稱(chēng)為關(guān)聯(lián)度。在系統(tǒng)發(fā)展過(guò)程中，若兩個(gè)因素變化的趨勢(shì)具有一致性，即同步變化程度較高，即可謂二者關(guān)聯(lián)程度較高；反之，則較低。因此，灰色關(guān)聯(lián)分析方法，是根據(jù)因素之間發(fā)展趨勢(shì)的相似或相異程度，亦即“灰色關(guān)聯(lián)度”，作為衡量因素間關(guān)聯(lián)程度的一種方法。

典型相關(guān)分析法：是對(duì)互協(xié)方差矩陣的一種理解，是利用綜合變量對(duì)之間的相關(guān)關(guān)系來(lái)反映兩組指標(biāo)之間的整體相關(guān)性的多元統(tǒng)計(jì)分析方法。它的基本原理是：為了從總體上把握兩組指標(biāo)之間的相關(guān)關(guān)系，分別在兩組變量中提取有代表性的兩個(gè)綜合變量U1和V1（分別為兩個(gè)變量組中各變量的線性組合），利用這兩個(gè)綜合變量之間的相關(guān)關(guān)系來(lái)反映兩組指標(biāo)之間的整體相關(guān)性。

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主成分分析法（降維）

是一種統(tǒng)計(jì)方法。通過(guò)正交變換將一組可能存在相關(guān)性的變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。在用統(tǒng)計(jì)分析方法研究多變量的課題時(shí)，變量個(gè)數(shù)太多就會(huì)增加課題的復(fù)雜性。人們自然希望變量個(gè)數(shù)較少而得到的信息較多。在很多情形，變量之間是有一定的相關(guān)關(guān)系的，當(dāng)兩個(gè)變量之間有一定相關(guān)關(guān)系時(shí)，可以解釋為這兩個(gè)變量反映此課題的信息有一定的重疊。主成分分析是對(duì)于原先提出的所有變量，將重復(fù)的變量（關(guān)系緊密的變量）刪去多余，建立盡可能少的新變量，使得這些新變量是兩兩不相關(guān)的，而且這些新變量在反映課題的信息方面盡可能保持原有的信息。設(shè)法將原來(lái)變量重新組合成一組新的互相無(wú)關(guān)的幾個(gè)綜合變量，同時(shí)根據(jù)實(shí)際需要從中可以取出幾個(gè)較少的綜合變量盡可能多地反映原來(lái)變量的信息的統(tǒng)計(jì)方法叫做主成分分析或稱(chēng)主分量分析，也是數(shù)學(xué)上用來(lái)降維的一種方法。

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因子分析法（降維）

因子分析是指研究從變量群中提取共性因子的統(tǒng)計(jì)技術(shù)。最早由英國(guó)心理學(xué)家C.E.斯皮爾曼提出。他發(fā)現(xiàn)學(xué)生的各科成績(jī)之間存在著一定的相關(guān)性，一科成績(jī)好的學(xué)生，往往其他各科成績(jī)也比較好，從而推想是否存在某些潛在的共性因子，或稱(chēng)某些一般智力條件影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。因子分析可在許多變量中找出隱藏的具有代表性的因子。將相同本質(zhì)的變量歸入一個(gè)因子，可減少變量的數(shù)目，還可檢驗(yàn)變量間關(guān)系的假設(shè)。

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BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)綜合評(píng)價(jià)法

是一種按誤差逆?zhèn)鞑ニ惴ㄓ?xùn)練的多層前饋網(wǎng)絡(luò)，是應(yīng)用最廣泛的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型之一。BP網(wǎng)絡(luò)能學(xué)習(xí)和存貯大量的輸入-輸出模式映射關(guān)系，而無(wú)需事前揭示描述這種映射關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。它的學(xué)習(xí)規(guī)則是使用最速下降法，通過(guò)反向傳播來(lái)不斷調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值，使網(wǎng)絡(luò)的誤差平方和最小。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)包括輸入層（input）、隱層(hide layer)和輸出層(output layer)。

2023年第十三屆MathorCup高校數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽

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