在量子力學(xué)中，薛定諤繪景和海森堡繪景提供了兩種等價(jià)的描述方法。

在薛定諤繪景中，態(tài)矢代表隨時(shí)間演化的物理態(tài)，而希爾伯特空間中的算符不依賴于時(shí)間。如果系統(tǒng)的哈密頓算符不含時(shí)間，則態(tài)矢與時(shí)刻的態(tài)矢通過幺正變換聯(lián)系起來：

于是便有：

這就是量子力學(xué)中的薛定諤方程，（2.1）式是它的解。

在海森堡繪景中，態(tài)矢定義為：

它不隨時(shí)間演化：

而算符依賴于時(shí)間，通過一個(gè)含時(shí)的相似變換與聯(lián)系起來：

由于所以：

故哈密頓算符在兩種繪景中相同：

由：

可知，兩個(gè)繪景中力學(xué)量在態(tài)上的平均值相同。而且：

即海森堡繪景中的含時(shí)算符滿足海森堡運(yùn)動(dòng)方程：

上一節(jié)對(duì)簡(jiǎn)諧振子的量子化是在薛定諤繪景中進(jìn)行的，因?yàn)闆]有考慮算符與隨時(shí)間的演化。將薛定諤繪景下的正則對(duì)易關(guān)系記作它在海森堡繪景中的形式為：

可見，正則對(duì)易關(guān)系的形式不依賴于繪景。（2.11）式是在同一時(shí)刻成立的，因此（2.11）又稱為等時(shí)對(duì)易關(guān)系。接下來的討論在海森堡繪景中進(jìn)行，省略海森堡繪景的上標(biāo)

將上述討論推廣到具有個(gè)自由度的系統(tǒng)，設(shè)海森堡繪景中的廣義坐標(biāo)算符為廣義動(dòng)量算符為它們是系統(tǒng)的正則變量。由于不同自由度不該互相影響，則這些算符的等時(shí)對(duì)易關(guān)系為：

在量子場(chǎng)論中，為了平等處理時(shí)間與空間，時(shí)間與空間坐標(biāo)都應(yīng)作為量子場(chǎng)算符的參數(shù)。場(chǎng)論討論的是無窮多個(gè)自由度的系統(tǒng)，每一個(gè)空間點(diǎn)上的都是一個(gè)廣義坐標(biāo)。為了從有限個(gè)自由度過渡到無窮多個(gè)自由度，我們現(xiàn)將空間離散化，劃分成個(gè)小體積元再取的極限讓空間連續(xù)。在體積元中定義相應(yīng)的廣義坐標(biāo)：

這是場(chǎng)在體積元中的平均值。將和拉格朗日量密度在中的平均值記為：

當(dāng)取的足夠小時(shí)，成為和的函數(shù)拉格朗日量表述為：

于是，與之共軛的廣義動(dòng)量定義為：

由（2.12）式得到等時(shí)對(duì)易關(guān)系：

引入廣義動(dòng)量密度：

等時(shí)對(duì)易關(guān)系變?yōu)椋?/p>

從離散到連續(xù)，克羅內(nèi)克爾符號(hào)化為狄拉克函數(shù)。狄拉克函數(shù)定義為：

那么這個(gè)無窮很麻煩，無窮大的幾倍還是無窮大，不好定義，所以規(guī)定：

從而，對(duì)于任意函數(shù)有：

狄拉克函數(shù)是偶函數(shù)，即：

而且滿足：

約定函數(shù)的傅里葉變換為：

而傅里葉逆變換為：

可見，是的傅里葉變換。對(duì)于連續(xù)實(shí)函數(shù)若方程具有若干分立實(shí)根則有：

用三個(gè)一維狄拉克函數(shù)之積定義三維狄拉克函數(shù)：

三維狄拉克函數(shù)滿足：

對(duì)于任意連續(xù)函數(shù)有：

由（2.26）式推出：

可見，三維狄拉克函數(shù)滿足如下關(guān)系：

在三維空間中，函數(shù)的傅里葉變換是：

逆變換是：

因此，是的傅里葉變換。

設(shè)是在上的平均值，有：

（2.32）式是（2.39）式在時(shí)的極限。即在這個(gè)極限下，有：

而且在這個(gè)極限下：

從而，共軛動(dòng)量密度為：

等時(shí)對(duì)易關(guān)系化為：

對(duì)于包含若干個(gè)場(chǎng)的系統(tǒng)，假設(shè)不同的場(chǎng)不會(huì)互相影響，則：

這就是量子場(chǎng)論中的正則對(duì)易關(guān)系。這里的正則變量都是算符。