數(shù)學(xué)歸納法，可以用來證明一個(gè)“序列”中的每一個(gè)“元素”都具有某種“性質(zhì)”。方法分兩步：

一、證明“序列”中的第1個(gè)“元素”具有這一“性質(zhì)”；

二、證明當(dāng)任一“元素”（第n個(gè)）具有這一“性質(zhì)”時(shí)，它的“后繼”（第n+1個(gè)）必然具有這一“性質(zhì)”。

完成了這兩步，就已經(jīng)證明了：這一“序列”中的每一個(gè)“元素”都具有這一“性質(zhì)”。

以上，只是示意性的描述，并非嚴(yán)格定義。

這里提供應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的三個(gè)簡單例子。

1、

求證：

如圖，任何一個(gè)邊長為2n的正方網(wǎng)格，里面挖掉任一小方格；這樣的圖形，必然能被下面的L形磚塊填滿。

證明：

一、當(dāng)n=1時(shí)，顯然，無論挖掉哪個(gè)小方格，剩下的圖形立刻能用L形磚塊填滿。

下一步，只需證明，當(dāng)待證的性質(zhì)在邊長為2n的網(wǎng)格中成立，那么在邊長為2n+1的網(wǎng)格中它必然成立，即可。

二、假定待證的性質(zhì)在邊長為2n的網(wǎng)格（圖中“示意”為4×4網(wǎng)格）中成立，那么面對邊長為2n+1的網(wǎng)格，我們可以把它劃分成四個(gè)象限。需要挖掉的小方格在哪個(gè)象限，我們就可以用一塊已經(jīng)被L形磚塊填滿的邊長為2n的網(wǎng)格填上它；另外三個(gè)象限，我們可以如圖安排：各挖掉一個(gè)角上小方格，用三塊如此完成的邊長為2n的網(wǎng)格填上，最后用一塊L形磚填上最后的缺口。

顯然，當(dāng)邊長為2n的網(wǎng)格具有這一性質(zhì)時(shí)，邊長為2n+1的網(wǎng)格必然具有這一性質(zhì)。

得證。

2、

“漢諾塔”問題。

如圖：有三根柱子，在一根柱子上，按從小到大的順序疊放著若干枚圓片?，F(xiàn)在，我們可以按這樣的規(guī)則把圓片移動(dòng)到別的柱子上：每次只能移動(dòng)一枚，并且在任一柱子上，大圓片不能擺在小圓片上面。

求證：

把n枚圓片移動(dòng)到另一根柱子上，需要的最少移動(dòng)次數(shù)是2n-1。

證明：

一、當(dāng)n=1時(shí)，移動(dòng)1次即可，顯然成立。

二、假定把n枚圓片移動(dòng)到另一根柱子上，需要移動(dòng)2n-1次；那么當(dāng)這n枚底下又多了一枚，我們需要做的是：先移動(dòng)2n-1次，把上面n枚移到第二根柱子上；再花費(fèi)1次，把最大的一枚移到第三根柱子上；最后花費(fèi)2n-1次，把n枚從第二根柱子移到第三根柱子。所以，移動(dòng)n+1枚圓片，總共需要的次數(shù)是：

2n-1+1+2n-1=2n+1-1

得證。

從這個(gè)例子我們可以看出，數(shù)學(xué)歸納法或許難以幫我們“發(fā)現(xiàn)”公式，但是“驗(yàn)證”公式，數(shù)學(xué)歸納法是一把好手。

3、

一個(gè)圓，被任意多條線段，劃分為N個(gè)區(qū)域。

求證：

只需用兩種顏色，給不同的區(qū)域著色，就足以使任何兩個(gè)共享一條邊的區(qū)域擁有不同的顏色。

證明：

一、當(dāng)線段數(shù)n=1時(shí)，顯然成立。

二、假定線段數(shù)為n時(shí)，兩種顏色能滿足我們的需求；那么我們在此基礎(chǔ)上增加一條線段：

然后在線段的一邊（比如左邊），把兩種顏色互換：

我們看到，共享邊不是新加線段的一部分的相鄰區(qū)域，顏色區(qū)分不會(huì)受影響；而共享邊剛好是新加線段的一部分的相鄰區(qū)域，剛好因?yàn)椤邦伾Q”，實(shí)現(xiàn)了區(qū)分。

所以，只要這一性質(zhì)在線段數(shù)為n時(shí)成立，那么它在線段數(shù)為n+1時(shí)，必然成立。

得證。

數(shù)學(xué)歸納法的“視覺化”：多米諾骨牌。

證明步驟一，相當(dāng)于說第一塊骨牌會(huì)被推倒；

證明步驟二，相當(dāng)于說任何相鄰骨牌都足夠接近，使得一塊推倒以后另一塊必然會(huì)倒。如此，就能推出：所有的骨牌都會(huì)倒。

這個(gè)視覺意象，有助于我們“看到”數(shù)學(xué)歸納法適用的是怎樣的“序列”。至于嚴(yán)格的定義，就不是本篇的事了。

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公眾號【小李飛刀讀古龍】