三角函數(shù), 是指與角度有關(guān)的一些函數(shù), 包括以下六種:

正弦 sin,????余弦 cos,

正切 tan,????余切 cot,

正割 sec,????余割 csc.

對于一個確定的角度, 它的三角函數(shù), 只要有定義, 那就一定是唯一的結(jié)果. 其中, 前 4 個函數(shù), 在實際應(yīng)用中使用較多, 另外 2 個相對來說不常用.

在中學(xué)階段, 我們主要掌握正弦, 余弦, 和正切這 3 者的計算和變換.

我們首先要知道, 這些函數(shù)名稱的由來, 然后根據(jù)名稱, 去聯(lián)想計算公式.

1. 正弦的計算

在單位圓中,? 正弦是這樣定義的:

如下圖所示:?

單位圓的半徑 R = 1, 所以, 此時的 y 的數(shù)值就等于角 θ 的正弦值.

在直角三角形里, 可以這樣定義正弦:

顧名思義, "正" 就是正對著的位置, "弦" 是指圓里的弦.

注意, 第 2 種定義, 只適用于銳角, 而第 1 種定義對所有的角都適用.

在半徑為 R 的圓中, 如果一條弦對應(yīng)的圓心角為 α, 則弦長

推導(dǎo)過程很簡單, 如下圖:

2. 余弦的計算

講余弦之前, 我先說明?"余角" 的概念.

相加為 90° 的兩個角, 互為余角;?例如, 同一個直角三角形里, 兩個銳角就互為余角, 簡稱"互余"; 如果其中一個為 θ, 那另一個角一定等于 90° - θ.

我們可以這樣理解: 余角的正弦, 簡稱 "余弦". 有這樣一個恒等式:

不過,?這并不是余弦的定義式, 這個等號,?只是數(shù)值上的等于.

我會在下期專欄里, 證明這個等式.

余弦的定義式, 在單位圓里, 我們寫成:

在直角三角形里, 我們寫成:

同樣地, 后者僅對銳角適用, 前者對任意角度都適用.

關(guān)于正弦和余弦, 有一個重要的恒等式:

利用勾股定理, 可以很方便地證明它, 不過, 我有另一種思路.

?

(大家可以在單位圓里驗證, 具體證明略)

下期預(yù)告:

正切和余切的計算, 和角公式和差角公式的推導(dǎo).