本文出自菲爾茲獎(jiǎng)得主、劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)教授蒂莫西·高爾斯（Timothy Gowers） 主編的《普林斯頓數(shù)學(xué)指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部獨(dú)具特色的高水平著作，介紹了很多 20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)，且都出自數(shù)學(xué)大家之筆。該文是阿蒂亞、孔涅等當(dāng)代五位頂級數(shù)學(xué)家根據(jù)自己的數(shù)學(xué)研究經(jīng)驗(yàn)，對后輩新人給出的忠告——一些寶貴的經(jīng)驗(yàn)性建議。令人驚喜的是，它們很少有重復(fù)。雖然這些話是針對數(shù)學(xué)新手而說的，但相信它們值得任何年紀(jì)的數(shù)學(xué)家閱讀。日前，我們已刊發(fā)過英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士和匈牙利裔英國數(shù)學(xué)家Béla Bollobas以及英國女?dāng)?shù)學(xué)家杜薩·麥克杜夫的建議，今日奉上著名的法國數(shù)學(xué)家阿蘭·孔涅（Alain Connes）的部分。

撰文?|?Alain Connes

翻譯?| 陳躍（上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授）

來源 | 《數(shù)學(xué)文化》

阿蘭·孔涅（Alain Connes, 1947-），法國數(shù)學(xué)家，在非交換幾何學(xué)方面的工作對理論和數(shù)學(xué)物理有重要影響。他是 1982 年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者。

數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)的支柱，它是許多新概念與新工具的相當(dāng)有效的源泉，借助于這些新概念和新工具，我們才得以理解置身其中的“現(xiàn)實(shí)世界”。這些新概念本身就是人類思維這個(gè)蒸餾器經(jīng)歷長期“蒸餾”過程的結(jié)果。
我被要求寫一些對于年輕數(shù)學(xué)家的忠告。首先我感到每一位數(shù)學(xué)家都是一個(gè)個(gè)特殊的案例，總體來講數(shù)學(xué)家們都傾向于成為（喜歡獨(dú)立的）“費(fèi)米子”，即他們盡量避免在太大眾化的領(lǐng)域里做研究，而物理學(xué)家們的表現(xiàn)則更像（群居的）“玻色子”，他們組合成很大的團(tuán)隊(duì)，并經(jīng)常“過分夸大”他們?nèi)〉玫慕Y(jié)果——這種態(tài)度是會被數(shù)學(xué)家們鄙夷的。
人們一般總是首先將數(shù)學(xué)劃分成一些相互獨(dú)立的分支學(xué)科，例如幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、分析學(xué)、以及數(shù)論等等。其中，幾何學(xué)主要是試圖理解“空間”的概念，代數(shù)學(xué)主要研究字母符號的操作藝術(shù)，而分析學(xué)則主要關(guān)注涉及“無窮”與“連續(xù)”的對象等等。
但是，這種看法與數(shù)學(xué)這門學(xué)科的一個(gè)最重要的本性相違背，即把上述那些分支學(xué)科中的任何一個(gè)在不剝離自身本質(zhì)的前提下從其余的分支中獨(dú)立出來是根本不可能的。實(shí)際上，整個(gè)數(shù)學(xué)就像一個(gè)完整的生命體，只有在結(jié)為一體的情況下才能生存，如果它被分割成若干不相連的部分，那么它就會消亡。
數(shù)學(xué)家們的研究生涯可以被描述成是在“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)世界”王國里的一次探險(xiǎn)旅行，他們用自己的知識架構(gòu)逐步揭開它的神秘面紗。
這個(gè)過程往往開始于對現(xiàn)存書本上關(guān)于數(shù)學(xué)王國的教條描述的不滿與反叛。想要成為數(shù)學(xué)家的年輕人開始意識到，他們自己關(guān)于數(shù)學(xué)世界的看法已經(jīng)抓住了數(shù)學(xué)的某些特征，而這又與已有的教條不相符合。在大多數(shù)的情況下，這種初期的反叛來源于無知，但卻不無益處，因?yàn)樗梢詭椭藗儚膶?quán)威的敬畏中解放出來，使得他們可以依靠他們的直覺，并且用實(shí)際的證明來支撐他們的直覺。一旦一個(gè)數(shù)學(xué)家真正開始了自己的研究并獲得了解，哪怕是以一種非常原始和“個(gè)人化的”方式，或者是處在數(shù)學(xué)世界的一個(gè)非常狹小的領(lǐng)域里，并且無論初看起來是多么怪異[1]，那么這個(gè)探險(xiǎn)旅行實(shí)際上就已經(jīng)開始了。當(dāng)然，很重要的是不要去打破“阿莉阿尼線團(tuán)”[2]：在始終保持用一種新鮮的眼光看待旅途中遇到的各種問題的同時(shí)，還能夠在一次次感到迷路的時(shí)候回到出發(fā)點(diǎn)。
同樣重要的是，一直保持對各種數(shù)學(xué)的興趣。否則，我們就會冒著一種風(fēng)險(xiǎn)，將自己完全局限于一個(gè)已經(jīng)被高度技術(shù)化了的非常狹小的領(lǐng)域里，從而限制了我們對于巨大的變幻莫測的數(shù)學(xué)世界洞察力的發(fā)揮。
在這方面最基本的要點(diǎn)是：盡管有許多數(shù)學(xué)家畢其一生在探索數(shù)學(xué)世界中各不相同的領(lǐng)域，而且看問題的角度是那樣的不同，可是他們都同意他們其實(shí)是在研究同一對象的各個(gè)不同部分。不管我們各自旅行的出發(fā)點(diǎn)在哪里，總有一天，當(dāng)我們走了足夠長的距離后，會發(fā)現(xiàn)大家都不約而同地走到了數(shù)學(xué)王國的同一座著名城堡：例如橢圓函數(shù)、模形式、或者zeta函數(shù)等?！皸l條道路通羅馬”，數(shù)學(xué)世界也是相互連通的。當(dāng)然這并不是說數(shù)學(xué)的所有各個(gè)部分都是相似的，在這里很值得引用格羅騰迪克（在《收獲與播種》一書中）對分析學(xué)與代數(shù)幾何學(xué)所作的比較，前者是他最初涉足的研究領(lǐng)域，而對后者的研究則耗盡了他之后數(shù)學(xué)生涯的全部心血：
我仍然記得這種強(qiáng)烈的印象（當(dāng)然完全是主觀的），就好象我自己從貧瘠的荒野轉(zhuǎn)瞬間突然來到了“神所授予的”富饒土地，它們無邊無際，你可以盡情地在其中探究，施展自己的身手與才華。
大多數(shù)的數(shù)學(xué)家們都很務(wù)實(shí)地將自己看成是這個(gè)“數(shù)學(xué)世界”的探索者，他們并不是很關(guān)心它是否真的存在，他們只是用自己的直覺以及大量的理性思維來揭示這個(gè)數(shù)學(xué)世界的結(jié)構(gòu)。這種直覺離所謂的“理想化的愿望”并不太遠(yuǎn)（就像法國詩人Paul Valery所強(qiáng)調(diào)的那樣），而大量的理性思維則需要高度集中的思考時(shí)間。
每一代數(shù)學(xué)家都構(gòu)建了反映他們自己對這個(gè)數(shù)學(xué)王國理解的智力圖景。他們建造了越來越敏銳的智力工具，這樣就能夠來開發(fā)先前未被發(fā)現(xiàn)的各種研究領(lǐng)域。
真正有趣的事情是：在數(shù)學(xué)王國的各個(gè)不同的領(lǐng)域之間找到了意想不到的聯(lián)系橋梁，這種聯(lián)系在前輩數(shù)學(xué)家們的智力圖景中還是顯得非常模糊和遙遠(yuǎn)的。而當(dāng)這種情形產(chǎn)生時(shí)，就像突然之間一陣清風(fēng)吹散了籠罩在我們美麗大地上的迷霧。在我自己的工作中，這種類型的巨大驚喜常來自于與物理學(xué)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)研究。數(shù)學(xué)概念很自然地來源于物理學(xué)，這已經(jīng)成為了一個(gè)基本共識，就像阿達(dá)瑪?(Hadamard)?所曾經(jīng)指出的那樣。對他來說，他們所展示的
不僅僅是短暫的能讓數(shù)學(xué)家們暈頭轉(zhuǎn)向的新奇小技巧，而是那種從事物本身涌現(xiàn)出來的真正富饒多產(chǎn)的新穎。
下面我將用一些比較“實(shí)用”的忠告來結(jié)束這篇短文。只是要注意每一位數(shù)學(xué)家都是一個(gè)“特殊的案例”，不用太在意這些忠告。
散步? 當(dāng)你正在與一個(gè)非常復(fù)雜的問題搏斗時(shí)（常常涉及計(jì)算），一個(gè)非常明智的練習(xí)是出去走一段距離很長的路（不帶紙和筆），一邊走一邊在腦子里做計(jì)算，不用擔(dān)心這初看起來是否“太復(fù)雜了，不可能這樣做”。即使不成功，也能夠訓(xùn)練超人的記憶力和不斷完善自己的方法。
躺下? 數(shù)學(xué)家們一般很難向他們的同事解釋，他們研究工作最辛苦緊張的時(shí)刻竟然是他們在黑暗中躺在沙發(fā)上的時(shí)候。很不幸的是，隨著e-mail和電腦屏幕侵入所有的數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)和場所，將自己完全孤立起來、從而集中心思的彌足珍貴的機(jī)會就變得十分稀少了。
再勇敢些? 在通向新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程中，一般有好幾個(gè)階段。盡管處在后面的只需要我們理性與專心的（證明與計(jì)算）核查階段的工作量大得驚人，但相比較而言，位于前面的更加富有創(chuàng)造性的（探索與構(gòu)思）階段則完全不同。在某種程度上，這個(gè)探索階段還需要一種你對自己無知的保護(hù)意識，因?yàn)榭偸怯星f個(gè)理由叫我們不要盯在那些其他許多數(shù)學(xué)家們都沒有解決的問題上。
挫折? 在數(shù)學(xué)家們的研究生涯中，包括很早的時(shí)期，他們會不斷收到來自競爭者們的論文預(yù)印本，這時(shí)他們會因?yàn)槁浜蠖械奖妒艽驌簟Ｔ谶@里我所能給出的建議是，應(yīng)當(dāng)努力將這種挫敗感轉(zhuǎn)化為鼓勵(lì)你更加勤奮工作的前進(jìn)的動力。然而這做起來并不容易。
懷有妒忌的認(rèn)可??我的一個(gè)同事曾經(jīng)說，“我們（數(shù)學(xué)家）的工作，說到底就是為了得到幾個(gè)朋友的懷有妒忌的認(rèn)可?！贝_實(shí)，由于我們的研究工作本質(zhì)上講還是相當(dāng)冷僻孤立的，所以不幸的是我們總是以各種方式極度渴求這種認(rèn)同感，可是坦率講我們不應(yīng)該期望過高。實(shí)際上，真正的判斷來自于自己。沒有人能比自己更明白自己所做的工作究竟是什么，過分地?fù)?dān)心在乎別人的看法是在浪費(fèi)時(shí)間：因?yàn)槠駷橹惯€沒有一個(gè)定理是通過被選舉出來的方式獲得證明的。就像費(fèi)曼?(Feynman)?曾經(jīng)說過的那樣，“你為什么要在乎別人怎么想？”

注釋

[1]我自己最初的出發(fā)點(diǎn)是研究多項(xiàng)式根的分布問題。幸運(yùn)的是我在很小年紀(jì)就被邀請參加在西雅圖舉行的一次會議，在那里我受到引導(dǎo)，后來我所有的在因子理論方面的工作都起源于此。[2]阿莉阿尼是古希臘傳說中的克里特國王彌諾斯的長女。國王養(yǎng)了一頭怪物，每年要吃七對童男童女。雅典王子忒修斯決心到島上的迷宮里除掉怪物。在進(jìn)迷宮前，他偶遇阿莉阿尼公主，公主愛上了他，交給他一個(gè)線團(tuán)，讓他將一端放在迷宮外，一端拿在手中，以免迷路。忒修斯殺死怪物后順線走出迷宮。?

本文摘自原載于《數(shù)學(xué)文化》第4卷第2期的《給年輕數(shù)學(xué)家的忠告》，經(jīng)譯者授權(quán)刊發(fā)。