Convergent or Divergent:

適用：國(guó)外大一數(shù)學(xué)或同等內(nèi)容

convergence和divergence的問(wèn)題是一個(gè)困擾學(xué)生很長(zhǎng)時(shí)間的問(wèn)題。它的方法很多很亂。剛學(xué)的時(shí)候會(huì)是這樣的：基本能理解方法，但如果自己做，總覺(jué)得不知道該選哪一種方法。

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例如，遇到了這個(gè)問(wèn)題：

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在不確定的情況下，試了好幾種方法，可能試出結(jié)果，也可能沒(méi)試出。到4、5道題后，花了很大的精力，依舊不確定，心理上已經(jīng)累了，最終放在一邊。幾個(gè)月內(nèi)，做了又忘，忘了又做，但方法時(shí)靈時(shí)不靈，對(duì)于這塊的確認(rèn)度始終停滯在50%上。

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我告訴大家高效的方法，可以明顯提高我們的確認(rèn)度，并且有據(jù)可尋：

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這里主要的方法有4種，我們?cè)诖嘶A(chǔ)上總結(jié)每種方法的幾個(gè)題型。先熟悉這個(gè)題型歸類材料，看你的問(wèn)題屬于哪一類，往這個(gè)題型歸類上靠，再去做。有特殊的再單獨(dú)添進(jìn)去，特殊處理。

站在上方俯視這些題的特點(diǎn)，直接熟悉題型列表。它避免讓你每次都從零起步，無(wú)限耗時(shí)在上面，混淆不清。從而省時(shí)間。

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這個(gè)視頻的做法可能在十幾秒鐘之內(nèi)是無(wú)法理解的，你可以暫?；蛘呓貓D，慢慢研究，然后做題時(shí)對(duì)著走。我會(huì)把文章再發(fā)出來(lái)。

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（1）

然后我們進(jìn)入這幾種方法。對(duì)于每一種方法，在做問(wèn)題的時(shí)候，要沿著規(guī)則走，別走差路了。比如說(shuō)到底是什么情況下誰(shuí)比誰(shuí)。

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Ratio Test可以看做一種最基本而且應(yīng)用廣泛的方法， 他的思路是用后一項(xiàng)比前一項(xiàng)。比值小于1則收斂。

要注意，這個(gè)比值是在n是無(wú)窮大的時(shí)候得出的。

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關(guān)鍵是什么樣的題用Ratio Test呢？

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這些題的基本特點(diǎn)：有Factorial（嘆號(hào)），或者是1、4、5類型的指數(shù)分?jǐn)?shù)。

我們做一下第1題。

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Hence the given series is divergent.

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（2）

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它的思路是借用另一個(gè)Series，和它作比較，如果能比出一個(gè)定值，那么兩個(gè)Series同時(shí)收斂或者發(fā)散。

an/bn比值是0的話，如果bn收斂，an就收斂

an/bn比值是無(wú)窮大的話，如果bn發(fā)散，an就發(fā)散

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經(jīng)常被借用的Seires是p-series。也就是類似于1/n3的series，如果右上角的次數(shù)大于1，則收斂；如果小于等于1，則發(fā)散。

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Limit Comparison題目的特點(diǎn)：一個(gè)分子分母中n為不同次的分?jǐn)?shù)，

參照物是一個(gè)分?jǐn)?shù)，，如上面的第5題所示。

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舉個(gè)例子更好說(shuō)明，我們做一下第5題。這種題我們都是設(shè)置一個(gè)參照物。這個(gè)參照物是分子為原分子的最高次，分母為原分母的最高次。

?= ?= ?3

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Li

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Since there exists a positive limit, and the p-series diverges, so the given series diverges.

典型的是2,3,5。

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1可以看成是分子中的n次數(shù)為0.

?6,7經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化可以變成典型的樣式。

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4去單獨(dú)記。

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這是一道AP的真題。如果用ratio test的話，會(huì)不方便。如果你熟悉了limit comparison test的樣式，會(huì)很快找到突破。

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（3）

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他的特點(diǎn)也是找參照物，和Limit Comparison不一樣的是，他是直接比兩個(gè)的大小。

我們做一下第1題，

?,?

Comparison test特點(diǎn)：有比較明顯的標(biāo)的物。比如下標(biāo)的物和p-series或者等比數(shù)列有關(guān),

標(biāo)的物：

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經(jīng)常用到的關(guān)系：ln(n)<n, sin(n)<1, arctan(n)<1等

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值得說(shuō)的是，除了基本類型外，有些帶ln的。

4中1/ln(n)是和1/n比較的,ln(n)<n。

6中也是和1/n比較的，ln(n)>1，n>3時(shí)。

10是和1/n^2比較，ln(n)>2,在n大于e^2時(shí)

3是最特殊的，它是(n+1）！>2^n。，

4,6,10這種是需要特殊記憶的。

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（4）

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我們做一下第2題

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Integral Test特點(diǎn)：容易被積分。

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要意識(shí)到這些形式是可以被積分的，而且熟悉如何積分，尤其是Integration by parts類型。

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特殊說(shuō)明：

10，integral是ln(ln(n)).

4,11,12用到Integration by parts.

4用到了Integration by parts，過(guò)程中設(shè)1/n為t。

注意，能用Integration的問(wèn)題，必須滿足decreasing，8和9不滿足。

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如果感覺(jué)多個(gè)都可以，怎們判斷用哪種方法呢？先考慮最典型的特征屬于歸類中的哪一類，判斷順序可以為：

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1.?The nth term test判斷屬于Divergent（參考n th term test 的判斷法（前一版塊）： ???????????????????If ?）

2.?有沒(méi)有明顯標(biāo)的物可以比較，

3.?好不好Integrate

4.?符不符合Limit Comparison Test的形式

5.?用Ratio Test

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有一小部分題目如果沒(méi)做過(guò)，始終會(huì)有陌生感。例如，需要一定程度的特殊熟悉和記憶。

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如果我們的學(xué)習(xí)過(guò)程純憑感覺(jué)走，有時(shí)會(huì)返回零點(diǎn)。我們需要主動(dòng)地做出一些舉動(dòng)，打破這種局面。需要做題后做歸類，對(duì)各種樣式獲得熟悉感。再做題時(shí)往歸類里靠。而這樣就不會(huì)煩它，反而越來(lái)越覺(jué)得有成就感。

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對(duì)于不可避免的挫敗，要抗住。但就整個(gè)策略來(lái)說(shuō)，就要走有效率而減少挫敗的路線。越有成就感，就越能學(xué)下去。

在別的章節(jié)，也可以用類似的歸類法，例如積分。

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注：對(duì)于數(shù)學(xué)非常著迷的同學(xué)，可能不用歸類，一眼就能夠看出來(lái)，那另說(shuō)。我們這里是針對(duì)能基本理解這一塊知識(shí)、對(duì)數(shù)學(xué)感覺(jué)一般，對(duì)本節(jié)感到混亂的大多數(shù)同學(xué)。

本文從知識(shí)上并沒(méi)有包括所有細(xì)節(jié)，重在說(shuō)明學(xué)習(xí)方法。對(duì)于歸類的問(wèn)題，有些做了解答或提示。有時(shí)間可以把這些問(wèn)題的解法都寫(xiě)出。

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