（已排版）2023.6 湖州高二期末數(shù)學(xué)選擇、填空的解析和二次開發(fā)

2023-06-29 09:35 作者:ajsadhotmail 0人讀過(guò) | 我要投稿

導(dǎo)航：在前面有試卷和選填的解析，后面有逐題的簡(jiǎn)評(píng)和適當(dāng)?shù)木毩?xí)供二次開發(fā)使用。

先上試卷與解析：

簡(jiǎn)評(píng)：

試卷中的中檔題占比過(guò)多，頗有2022年新高考一卷的遺風(fēng)，但是放在高二的試卷中顯然不太合適，區(qū)分度也顯得較低。此類區(qū)分度較低的試卷通常會(huì)像如來(lái)佛一樣狠狠地把學(xué)生壓在五指山下。

二次開發(fā)：

選擇題部分

第1題，集合題，屬于基礎(chǔ)題，也是全卷唯一的不拐彎抹角的題。

練習(xí)：2023年新高考一卷·第1題。

已知集合M={-2,-1,0,1,2}， $N%3D%5C%7Bx%7Cx%5E2-x-6%5Cgeq0%5C%7D$ ，則M∩N=

A. {-2,-1,0,1}

B. {0,1,2}

C. {-2}

D. {2}

答案是C。

第2題，復(fù)數(shù)題，屬于基礎(chǔ)題。把左邊的除到右邊去還要再計(jì)算一下，并且題目問(wèn)的還是共軛復(fù)數(shù)，要繞兩個(gè)彎。

第3題，函數(shù)題，屬于中檔題。首先要使用對(duì)數(shù)換底公式將這個(gè)對(duì)數(shù)式子轉(zhuǎn)化為兩個(gè) $%5Cln$ 值的商，而后根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則觀察到 $%5Cdfrac%7B%5Cln3x%7D%7B%5Cln%20x%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cln%20x%2B%5Cln%203%7D%7B%5Cln%20x%7D$ ，轉(zhuǎn)化為一個(gè)復(fù)合函數(shù)求解。這個(gè)難度的題目放在第3題的位置過(guò)于難了。去年湖州高二期末第3題還是正態(tài)分布。

練習(xí)1：2018年全國(guó)III卷理·第12題。

設(shè) $a%3D%5Clog_%7B0.2%7D0.3$ ， $b%3D%5Clog_20.3$ ，則

A. a+b<ab<0

B. ab<a+b<0

C. a+b<0<ab

D. ab<0<a+b

答案是B。同時(shí)出現(xiàn)ab和a+b考慮構(gòu)造 $%5Cdfrac%7B1%7D%7Ba%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bb%7D$ ，同時(shí)觀察到 $%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7Bab%7D%3D%5Clog_%7B0.3%7D0.2%2B%5Clog_%7B0.3%7D2%3D%5Clog_%7B0.3%7D0.4$ ，且 $0%3C%5Clog_%7B0.3%7D0.4%3C1$ 。

練習(xí)2：2017年全國(guó)I卷理·第11題。

設(shè)x，y，z為正數(shù)，且 $2%5Ex%3D3%5Ey%3D5%5Ez$ ，則

A. 2x<3y<5z

B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x

D. 3y<2x<5z

答案是D。不妨設(shè) $2%5Ex%3D3%5Ey%3D5%5Ez%3DA$ ，則 $2x%3D%5Clog_2A%3D%5Cdfrac%7B2%5Cln%20A%7D%7B%5Cln%202%7D%3D%5Cln%20A%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Cln%202%7D$ 。同理， $3y%3D%5Cln%20A%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Cln%203%7D$ ， $5z%3D%5Cln%20A%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B5%7D%7B%5Cln%205%7D$ 。要比較這三個(gè)值，只需要構(gòu)造 $f(x)%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%5Cln%20x%7D$ ，研究其單調(diào)性，比較f(2)，f(3)和f(5)的值即可。

練習(xí)3：2022年新高考I卷·第7題。

設(shè) $a%3D0.1%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D$ ， $b%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D$ ， $c%3D-%5Cln%200.9$ ，則

A.? $a%3Cb%3Cc$

B.? $c%3Cb%3Ca$

C.? $c%3Ca%3Cb$

D.? $a%3Cc%3Cb$

答案是C。首先觀察到 $c%3D-%5Cln0.9%3D%5Cln%20%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7D%3D%5Cln%20%5Cleft(1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D%5Cright)%3C%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D$ ，排除A；由 $%5Ctextrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cgeq%20x%2B1$ 可得 $%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B-x%7D%20%5Cgeq%201-x$ ，故 $%5Ctextrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-x%7D$ 。由此 $%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%20%3C%20%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7D$ ，故 $0.1%20%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%20%3C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D$ ，排除B；接下來(lái)比較 $a$ 與 $c$ ， $a-c%3D0.1%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%2B%5Cln(1-0.1)$ ，構(gòu)造 $f(x)%3Dx%5Ctextrm%7Be%7D%5Ex%2B%5Cln(1-x)$ ，然后判斷正負(fù)性即可求解。

第4題，概率題，屬于中檔題。取法來(lái)源于2021年新高考I卷第8題。但是放在第4題顯然是在搞人心態(tài)。此題的AB和D選項(xiàng)不難判斷，C選項(xiàng)還要用二項(xiàng)分布算概率，計(jì)算量蹭的就上去了。這里再放一放母題。

練習(xí)：2021年新高考I卷·第8題。

有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取 $1$ 個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

A. 甲與丙相互獨(dú)立

B. 甲與丁相互獨(dú)立

C. 乙與丙相互獨(dú)立

D. 丙與丁相互獨(dú)立

答案是B。判斷相互獨(dú)立，黃金標(biāo)準(zhǔn)是P(AB)=P(A)P(B)。至于具體概率的計(jì)算，使用古典概型。

需要注意的是“互斥”與“相互獨(dú)立”不會(huì)同時(shí)發(fā)生。因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)事件互斥且概率不等于 $0$ ，P(AB)=0，顯然不會(huì)等于P(A)P(B)。用定義來(lái)解釋，就是說(shuō)一方的發(fā)生必然會(huì)影響另一方的不發(fā)生。

第5題，三角函數(shù)題，屬于中檔題，取法同樣來(lái)源于高考題。其本質(zhì)是根據(jù)題目中的條件求出ω的取值范圍。但是也明顯太靠前。有關(guān)三角函數(shù)求出ω的取值范圍的題目在高考題中屢見不鮮，以下列舉幾例。

練習(xí)1：2023年新課標(biāo)I卷·第15題。

已知函數(shù) $f(x)%3D%5Ccos%20%5Comega%20x-1%20(%5Comega%20%3E0)$ 在區(qū)間[0,2π]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是_________________．

答案是[2,3)。使f(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，就是要使得cos ωx=1有且僅有3個(gè)解。那么4≤2πω<6，故2≤ω<3。

練習(xí)2：2022年全國(guó)甲卷理·第11題。

設(shè)函數(shù) $f(x)%3D%5Csin%5Cleft(%5Comega%20x%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)$ 在區(qū)間(0, π)恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則 $%5Comega$ 的取值范圍是

A.? $%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B5%7D%7B3%7D%2C%5Cdfrac%7B13%7D%7B6%7D%5Cright)$

B.? $%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B5%7D%7B3%7D%2C%5Cdfrac%7B19%7D%7B6%7D%5Cright)$

C.? $%5Cleft(%5Cdfrac%7B13%7D%7B6%7D%2C%5Cdfrac%7B8%7D%7B3%7D%5Cright%5D$

D.? $%5Cleft(%5Cdfrac%7B13%7D%7B6%7D%2C%5Cdfrac%7B19%7D%7B6%7D%5Cright%5D$

答案是C。同樣是把括號(hào)內(nèi)的內(nèi)容看作一個(gè)整體帶入sin x求解。

第6題，向量題，屬于中檔題。這一題相比于前面幾題較為友好，運(yùn)算也較為簡(jiǎn)潔。得出兩個(gè)向量的夾角為120度，然后畫圖即可。

第7題，排列組合題，屬于中檔題。這一題可以采取“小枚舉”的辦法。因?yàn)榧缀鸵遗旁谝黄鸬那闆r較少，且左邊和右邊對(duì)稱，所以簡(jiǎn)單分3類即可解決問(wèn)題，不過(guò)計(jì)算量是稍微有點(diǎn)的。

第8題，抽象函數(shù)題，屬于中檔題，取法來(lái)源于2022年新高考I卷。在解析以外，可以注意若f(x+a)=f(b-x)，則 $f(x)$ 的圖像關(guān)于 $%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D$ 對(duì)稱，換言之，就是把括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)式子加起來(lái)除以2，對(duì)稱性也是同理。本題中f(1+2x)是偶函數(shù)，則f(1+2x)=f(1-2x)，故f(x)關(guān)于x=1軸對(duì)稱。同理，關(guān)于(2,0)中心對(duì)稱。軸對(duì)稱加中心對(duì)稱等于周期。類比三角函數(shù)，對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的距離是 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 個(gè)周期。本題的難度反而不大。

練習(xí)：2022年新高考I卷·第12題。

已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的定義域均為 $%5Cmathbb%7BR%7D$ ，記g(x)=f'(x)，若 $f%5Cleft(%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D-2x%5Cright)$ ，g(2+x)均為偶函數(shù)，則

A. f(0)=0

B.? $g%5Cleft(-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%3D0$

C. f(-1)=f(4)

D. g(-1)=g(2)

答案是BC。本題涉及到一個(gè)常用結(jié)論：原函數(shù)的對(duì)稱軸是導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，原函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱軸。

證明：若f(x)=f(2a-x)，則兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得f'(x)=-f'(2a-x)，故中心對(duì)稱；f(x)+f(2a-x)=0，則兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得f'(x)=f'(2a-x)，故軸對(duì)稱。需要注意的是，原函數(shù)求導(dǎo)后的常數(shù)項(xiàng)會(huì)消失，所以A選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。

第9題，概率統(tǒng)計(jì)題，屬于基礎(chǔ)題。需要注意的是殘差的定義：殘差＝實(shí)際值－估計(jì)值（有正負(fù)）。

第10題，三角函數(shù)題，屬于基礎(chǔ)題。本題同樣是把括號(hào)內(nèi)的一團(tuán)代數(shù)式看為一個(gè)整體。

練習(xí)：2022年新高考II卷·第9題。

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)的圖像關(guān)于點(diǎn) $%5Cleft(%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%2C0%5Cright)$ 中心對(duì)稱，則

A. f(x)在區(qū)間 $%5Cleft(0%2C%5Cdfrac%7B5%5Cpi%7D%7B12%7D%5Cright)$ 單調(diào)遞減

B. f(x)在區(qū)間 $%5Cleft(-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B12%7D%2C%5Cdfrac%7B11%5Cpi%7D%7B12%7D%5Cright)$ 有兩個(gè)極值點(diǎn)

C. 直線 $x%3D%5Cdfrac%7B7%5Cpi%7D%7B6%7D$ 是曲線y=f(x)的對(duì)稱軸

D. 直線 $y%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D-x$ 是曲線y=f(x)的切線

答案是ACD。

第11題，不等式題，屬于中檔題。不等式綜合題在2022年新高考II卷、2020年海南卷均在多選題后兩題的位置出現(xiàn)，證明了其重要的地位。通過(guò)使用一次基本不等式，可以解出 $a%5E2b$ 的范圍，從而解決CD選項(xiàng)；對(duì)于AB選項(xiàng)，更穩(wěn)妥的方法是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)。此題提醒了我們：通過(guò)一端變量范圍的限定來(lái)推斷另一端變量的范圍。如 $b%3D1-a%5E2$ ，且b>0，故 $a%5E2%3C1$ ，即0<a<1。

練習(xí)1：2020年新高考II卷（海南卷）·第12題

已知a>0，b>0，且a+b=1，則

A.? $a%5E2%2Bb%5E2%5Cgeq%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D$

B.? $2%5E%7Ba-b%7D%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D$

C.? $%5Clog_2a%2B%5Clog_2b%20%5Cgeq%20-2$

D.? $%5Csqrt%7Ba%7D%2B%5Csqrt%7Bb%7D%20%5Cleq%20%5Csqrt%7B2%7D$

答案是ABD。由 $1%5Cgeq%202%5Csqrt%7Bab%7D$ ，則 $ab%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 。則A選項(xiàng)， $a%5E2%2Bb%5E2%3D1-2ab%5Cgeq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ；B選項(xiàng)，可以選擇構(gòu)造函數(shù)，a-b=2a-1；CD選項(xiàng)和A同理，均是運(yùn)用ab的取值范圍。

練習(xí)2：2022年新高考II卷·第12題

若 $x$ ， $y$ 滿足 $x%5E2%2By%5E2-xy%3D1$ ，則

A. x+y≤1

B. x+y≥-2

C.? $x%5E2%2By%5E2%5Cleq%202$

D.? $x%5E2%2By%5E2%5Cgeq%201$

答案是BC。由于 $x$ 和 $y$ 均沒有限定是正數(shù)，因此本題更難入手。對(duì)于ABC選項(xiàng)而言， $(x%2By)%5E2%3D1%2B3xy%5Cleq1%2B3%5Cleft(%5Cdfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2$ ，解得 $(x%2By)%5E2%5Cleq4$ ，因此A錯(cuò)誤，B正確。對(duì)于C選項(xiàng)也同理， $(x%5E2%2By%5E2)-1%3Dxy%5Cleq%5Cdfrac%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7B2%7D$ 解得 $x%5E2%2By%5E2%5Cleq2$ ，正確；對(duì)于D選項(xiàng)而言，可以采用三角換元， $%5Cleft(%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B3%7Dx%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(y-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%3D1$ 。

第12題，函數(shù)題，屬于較難題。取法來(lái)源于2021年新高考II卷第16題，但是將其改編為多選題后變相增加了難度。設(shè)切線得出斜率的關(guān)系，然后即可得知a+b=0。此外C選項(xiàng)較為困難，將其化為單變量函數(shù)以后還需要求兩次導(dǎo)，D選項(xiàng)即為母題的答案。

非選擇題部分

第13題，排列組合題，屬于基礎(chǔ)題。列出通項(xiàng)以后即可求解答案。

練習(xí)：2022年新高考I卷·第13題

$%5Cleft(1-%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D%5Cright)(x%2By)%5E8$ 的展開式中 $x%5E2y%5E6$ 的系數(shù)為___________________．

答案是-28。

第14題，概率統(tǒng)計(jì)題，屬于基礎(chǔ)題。本題運(yùn)用到正態(tài)分布密度函數(shù)的對(duì)稱性。且順帶一提， $%5Csigma%20$ 表示的是標(biāo)準(zhǔn)差，方差還需要在此基礎(chǔ)上做平方。

第15題，概率統(tǒng)計(jì)題，屬于中檔題。本題如果使用按部就班的方法會(huì)很煩很煩?？疾煊?jì)算能力，但是似乎出現(xiàn)在這個(gè)位置非常不合適。

此外對(duì)于分層隨機(jī)抽樣的平均數(shù)和方差，有如下的結(jié)論。

如果第一層的個(gè)數(shù)為 $m$ ，方差為 $S%5E2_1$ ，平均數(shù)為 $%5Cbar%7Bx%7D%20$ ；第二層的個(gè)數(shù)為 $n$ ，方差為 $S%5E2_2$ ，平均數(shù)為 $%5Cbar%7By%7D$ ，則樣本平均數(shù) $a%3D%5Cdfrac%7Bm%5Cbar%7Bx%7D%2Bn%5Cbar%7By%7D%7D%7Bm%2Bn%7D%20$ ， $S%5E2%3D%5Cdfrac%7Bm%5BS%5E2_1%2B(%5Cbar%7Bx%7D-a)%5E2%5D%2Bn%5BS%5E2_2%2B(%5Cbar%7By%7D-a)%5E2%5D%7D%7Bm%2Bn%7D$ 。