一個以物理為背景的有趣數(shù)學(xué)問題:求由原點斜上拋運動的拋物線曲線族的包絡(luò)線

詳細(xì)的原問題可參考視頻:BV1PZ4y1o7BV

方法我會根據(jù)門檻由低到高排序。

首先求出拋物線方程

這是一個含參θ的拋物線，會隨著θ的改變而移動

法一:方程思想

設(shè)平面內(nèi)一點為P(x?,y?)，將該點坐標(biāo)代入拋物線方程得到一條關(guān)于θ的方程。若該方程有實數(shù)解，則說明該點位于包絡(luò)區(qū)域內(nèi);反之，若該方程無實數(shù)解，則該點位于包絡(luò)區(qū)域外。所以我們的目的就很明確了:求取滿足該方程有實數(shù)解的條件。(這一步轉(zhuǎn)化很關(guān)鍵)

法二:控制變量思想

取一直線x=x?，改變參數(shù)θ，觀察拋物線與該直線的交點變化，取其在變化過程中能達(dá)到最大高度(交點縱坐標(biāo)最大)時對應(yīng)的點。

改變x?的值，重復(fù)同樣的步驟，那么將所有這些最高點連起來，就是拋物線的運動邊界，即包絡(luò)線。

這是一個以t為自變量的二次函數(shù)，運用初中所學(xué)的二次函數(shù)最值求法求解即可。

由于t∈R,故最值(此處為最大值)在對稱軸處取得。

這是解法二，其思想就是先求出每個特定的x值對應(yīng)的最大y值，再把所有最高點連接起來。第一步運用了控制變量的思想:將x固定，在特定的x值下單獨看y受θ影響，這種思想其實就是多元函數(shù)求偏導(dǎo)的內(nèi)核，于是有了法三:偏導(dǎo)法

我們發(fā)現(xiàn)，對θ求偏導(dǎo)，實際上就是控制x不變，求y關(guān)于θ的函數(shù)的極值，其底層邏輯和法二是相同的。這也初步解釋了求包絡(luò)線需要對曲線參數(shù)求偏導(dǎo)的原因。

下面拿一道題練習(xí)練習(xí)。

求xcosθ+ysinθ=1的包絡(luò)線

學(xué)過極點極線的話能一眼看出這是單位圓x2+y2=1的切線族，但這其實算提前知道答案了。如何在不知道答案的情況下求出包絡(luò)線呢？下面用上述的兩個方法求解。

法一:方程思想:

法二:控制變量思想:

總結(jié):這篇專欄就帶讀者們初始了含參曲線族的包絡(luò)線及其求法，同時簡單解釋了求偏導(dǎo)的一個底層邏輯:控制變量法，這是個解決多變量問題的重要思想，望讀者們有所領(lǐng)悟有所收獲。