呀呼！一些煩心的事終于結(jié)束了，現(xiàn)在可以靜下心來寫一些東西嘍！

近半年都沒有更新……屬實是因為這半年來太忙了，學習上的事太多，都要處理，心力交瘁，就沒再多寫?，F(xiàn)在好了，終于放假了，所以可以更新啦！

上次把之前積攢的一篇專欄補全了點東西之后就發(fā)了出去，介紹了有關(guān)常系數(shù)齊次線性微分方程的一些相關(guān)內(nèi)容。也許有一些和大家之前接觸過的部分微分方程的概念和內(nèi)容有比較大的出入，不知道各位能接受多少。希望大家都能理解吧！

現(xiàn)在，我們就要繼續(xù)將一維線性微分方程繼續(xù)推及，研究非齊次線性微分方程。

Chapter? Three??常系數(shù)線性方程?

3.3? 穩(wěn)定多項式

我們已經(jīng)掌握了基本的解決線性微分方程的一般方法，還對解的形式和性質(zhì)有了一些初步的認知。從我們之前的討論當中，不難得出，常系數(shù)線性微分方程的解一般都與指數(shù)函數(shù)關(guān)系密切。因此，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對于解出來的解函數(shù)而言，有著重要的作用。

我們都知道，對于指數(shù)函數(shù)而言，如果a為正數(shù)，則x趨于正無窮時，函數(shù)無界；趨于負無窮，函數(shù)趨于0。反之則相反。一般而言，從微分方程的角度來說，需要應用的很多場合函數(shù)的變量都是非負的，這說明函數(shù)在非負半軸的性質(zhì)十分重要。因此，指數(shù)上的系數(shù)a對于我們解出來的微分方程的性質(zhì)就起到了關(guān)鍵作用。

對于常系數(shù)線性微分方程而言，其解一般具有形式：

因此，各個特征值就是影響解函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)鍵。

我們知道，對于任意的解函數(shù)，都應有：

的形式，這是一個復數(shù)。而由Euler公式，我們能夠得到：

這說明，對于解函數(shù)是否有界，起到?jīng)Q定作用的是特征值的實部——。

如果，則稱方程：

中的多項式p為穩(wěn)定多項式。

穩(wěn)定多項式的概念對于計算而言是比較重要的，但是我們只關(guān)注它的一些性質(zhì)即可，如果有需要的小伙伴可以自行去閱讀相關(guān)的計算著作。

由于我們知道，指數(shù)函數(shù)的增長速度是相當快的，以至于一般的任何函數(shù)都不能與之比較。因此，也不難理解，即使是對于重根部分，存在冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘的形式，只要滿足穩(wěn)定條件，函數(shù)最終也是趨近于0的。

因此，不難得出以下結(jié)論：

證明十分容易。?。?/p>

則顯然有：

故而可以推知：

由于：

因此在t≥0時，解函數(shù)中的任意一部分都有界，于是就有：

進一步，我們得到：

令：

于是得到：

這可以用來估計函數(shù)被控制的程度。

對于穩(wěn)定性的判別法，我們有一些簡單的結(jié)論。比如說：

實二次多項式：

是穩(wěn)定的，當且僅當。

進而可知：

實多項式：

是穩(wěn)定的，則可以得到。

（命題1，可以用代數(shù)基本定理來考慮；注意這是個必要條件。）

我們可以簡要研究一下對于稍微高次的多項式，其穩(wěn)定的充分必要條件是什么。

以三次實多項式：

為例，按代數(shù)基本定理，我們可以在復數(shù)域范圍內(nèi)將其拆分為：

則有：

根據(jù)代數(shù)基本定理的結(jié)論，我們很容易知道，這三個根中，要么是只有一個實數(shù)根，要么就全是實數(shù)根。不妨設：

則有：

簡單計算，可以得到：

所以，基于穩(wěn)定性的要求，我們又能推知：

現(xiàn)在我們來看，添加了這個條件之后，我們能否得到穩(wěn)定性結(jié)論。

事實上，由第二個條件，我們能直接得到：

這說明兩個復數(shù)根的實部已經(jīng)為復數(shù)。同時，又因為第一個必要條件，我們能夠得到：

而考慮到系數(shù)的表達式，不難發(fā)現(xiàn)，應為復數(shù)，這就得到了穩(wěn)定性。

也就是說，對于三次實多項式而言，這兩個條件合并，就是其穩(wěn)定的充分必要條件了。

更高階的結(jié)論已經(jīng)超出了目前需要掌握的范圍，感興趣的小伙伴們可以去閱讀其他書籍或者去網(wǎng)絡搜索相關(guān)的資料來了解。（省流：我不會~）

（你在等什么？不會是在等思考題吧~沒什么好思考的，理解就好啦！常微分方程差不多就是這樣子了nia~）

最後の最後に、ありがとうございました！