提醒：本文僅提供證明思路，不提供詳細證明過程，若有錯誤之處請在評論區(qū)指正。

圓錐曲線是高中數學的一個重要內容，而關于橢圓、拋物線和雙曲線為什么是“圓錐曲線”這一問題困擾了我很久，直到我看到@3Blue1Brown的視頻【【官方雙語】數學天賦是什么樣的？它從何而來？（丹迪林雙球）】 https://www.bilibili.com/video/BV1Ks411G7kN/?share_source=copy_web&;vd_source=c58d92445735d40976e167e434474482給出了關于橢圓是“圓錐曲線”的證明，我豁然開朗，于是根據以上視頻的方法找出了拋物線和雙曲線的證明思路。

雙曲線

首先作兩個相互倒立的圓錐，在不過軸心的任意位置豎直做一個平面與兩個圓錐分別相交；在兩個圓錐內都作一個同時與圓錐和平面相切的球，球心分別記作O、K；球O與下圓錐的切圓記作⊙O1，與平面的交點記作M；球K與上圓錐的切圓記作⊙K1，與平面的交點記作M1；在平面與下圓錐的相交曲線上作一點A，作直線AP交⊙O1于B，交⊙K1于C；連接AM、AM1。

∵平面與球K相切∴AM1與球K相切

∵球K與上圓錐相切∴AC與球K相切

∴AC=AM1

同理AM=AB

∴AM1-AM=AC-AB=BC為定值（曲線任意一點到兩焦點距離差的絕對值為定值）

當A點在上圓錐上時同理

∴豎直平面與相互倒立的兩個圓錐的相交曲線為雙曲線

拋物線

首先作一個圓錐，做一個平行于其中一條母線的平面與圓錐相交；在圓錐內做一個球O與圓錐和平面相切；令球O與平面切于點M，與圓錐的切圓為⊙O1；在圓錐外作與球O半徑相等的水平圓柱O2O3分別與平面切于直線l，易證l與⊙O1在同一水平面。在平面與下圓錐的相交區(qū)線上作一點A，連接AP與⊙O1交于點B，在直線l上作一點C使AC⊥l，連接AM。

∵平面與球O相切∴AM與球O相切

∵球O與圓錐相切∴AB與球O相切

∴AB=AM

∵平面平行于母線∴平面與水平面所成夾角與AB與水平面所成夾角相等

∵l平行于水平面，AC⊥l∴平面與水平面所成夾角與AC與水平面所成夾角相等

∴AB與水平面的夾角與AC與水平面的夾角相等

∵AB與AC的垂直高度相等∴AB=AC

∴AM=AC（曲線上任意一點到焦點的距離等于其到準線的距離）

∴與圓錐母線平行的平面與圓錐的相交曲線為拋物線