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[翻譯]錐線幾何(Geometry of Conics)第一章：二次曲線的諸基本性質(zhì)1.6

2023-08-19 14:29 作者:瀰?夃 0人讀過 | 我要投稿

本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.

翻譯：野呂侯奈因

僅供學(xué)習(xí)交流使用

譯者按：

? ? ? ?本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對于二次曲線問題的處理方式過于單一，希望能借翻譯本書的機(jī)會來推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

1.6. 離心率及圓錐曲線的另一定義

???????丹迪林雙球的構(gòu)造揭示了圓錐曲線的另一個重要性質(zhì)．

???????設(shè)一平面 $%5Cpi$ 與一以 $S$ 為頂點(diǎn)的圓錐的所有母線相交．考慮該圓錐的一個內(nèi)切球，其切 $%5Cpi$ 于一點(diǎn) $F_1$ ．接著就像處理拋物線時那樣，設(shè) $%5Csigma$ 為圓錐上諸切點(diǎn)所在平面， $l$ 為 $%5Cpi$ 與 $%5Csigma$ 的交線．設(shè)點(diǎn) $X$ 在圓錐面與平面 $%5Cpi$ 的相交部分上， $Y$ 為直線 $SX$ 與 $%5Csigma$ 的交點(diǎn)， $Z$ 為 $X$ 在 $l$ 上的投影．我們就能得出以下結(jié)論： $XY$ 與 $XZ$ 之比為定值，也就是說其與 $X$ 的選取無關(guān)（譯者注：見圖1.23）．

???????設(shè) $T$ 為 $X$ 在 $%5Csigma$ 上的投影，則有 $XT$ 與 $XY$ 的比值與 $X$ 的選取無關(guān)，而等于圓錐的母線與其軸線的夾角余弦值（稱該角為 $%5Calpha$ ），且 $XT$ 與 $XZ$ 的比值與 $X$ 的選取也無關(guān)，而等于平面 $%5Cpi$ 與圓錐軸線的夾角余弦值（稱該角為 $%5Cbeta$ ），故可得 $%5Cfrac%7BXY%7D%7BXZ%7D%3D%5Cfrac%7BXY%7D%7BXT%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7BXT%7D%7BXZ%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ccos%5Cbeta%7D%7B%5Ccos%5Calpha%7D$ ．由 $XF_1%3DXY$ （過 $X$ 引同一球的兩條切線長度相等），有 $XF_1$ 與 $XZ$ 的比值為定值．

因此對于任意的圓錐曲線都存在一條直線 $l$ 使得對于在該圓錐曲線上的任意一點(diǎn)都有其到焦點(diǎn)與其到該直線的距離之比為定值．該值即為圓錐曲線的離心率(eccentricity)，而該直線即為準(zhǔn)線(directrix)．對于橢圓和拋物線，都存在兩條準(zhǔn)線（分別對應(yīng)于兩焦點(diǎn)）．

?????? 不難發(fā)現(xiàn)可以由此性質(zhì)引出二次曲線的另一定義．

?????? 以 $F$ 為焦點(diǎn)， $l$ 為準(zhǔn)線（ $F$ 不在 $l$ 上）， $%5Cepsilon$ 為其離心率的圓錐曲線表示了所有到 $F$ 與到 $l$ 的距離之比等于 $%5Cepsilon$ 的點(diǎn)的集合．

?????? 當(dāng) $%5Cepsilon%20%3E1$ 時，該曲線為雙曲線；當(dāng) $%5Cepsilon%20%3C1$ 時，其為橢圓；而當(dāng) $%5Cepsilon%3D1$ 時，則為拋物線．

習(xí)題4. 求證所有以 $F$ 為焦點(diǎn)且過一點(diǎn) $P$ 的等軸雙曲線其漸近線都會與兩個圓相切（每條漸近線對應(yīng)一個圓）．

?????? （以下內(nèi)容摘自本書第五章：習(xí)題解答）

解答. 顯然，所有等軸雙曲線的離心率都等于 $%5Csqrt%202$ （讀者不妨自行驗(yàn)證）．

（譯者注：事實(shí)上，由于在將等軸雙曲線所在平面 $%5Cpi$ 平移的過程中并沒有改變其與軸線的夾角，故可以考慮其退化形式，即兩條垂直的直線．

???????設(shè) $%5Cpi$ 過 $S$ 與以 $S$ 為頂點(diǎn)的圓錐面相交，任取一與軸線垂直的平面 $%5Csigma$ ，交 $%5Cpi$ 于直線 $l$ ， $l$ 與圓錐面交于兩點(diǎn)，設(shè)其中一點(diǎn)為 $B$ ， $H$ 為 $S$ 在 $%5Csigma$ 上的投影， $A$ 為 $S$ 在 $l$ 上的投影，設(shè) $%5Cangle%20BSH$ 為 $%5Calpha$ ， $%5Cangle%20ASH$ 為 $%5Cbeta$ ， $%5Cangle%20ASB$ 為 $%5Cgamma$ ．則有 $%5Cepsilon%3D%5Cfrac%7B%5Ccos%5Cbeta%7D%7B%5Ccos%20%5Calpha%7D$ ，而由三余弦定理，有 $%5Ccos%5Cgamma%5Ccdot%5Ccos%5Cbeta%3D%5Ccos%5Calpha$ ，故可得 $%5Cepsilon%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Ccos%5Cgamma%7D%3D%5Csqrt2$ （圖m）．）

???????因此這類雙曲線的準(zhǔn)線到 $P$ 的距離都為 $%5Cfrac%7BFP%7D%7B%5Csqrt2%7D$ ，于是它們就會切于一個以 $P$ 為圓心， $%5Cfrac%7BFP%7D%7B%5Csqrt2%7D$ 為半徑的圓 $%5Comega$ ．不難發(fā)現(xiàn)它們可以取遍這整個圓（因?yàn)樵搱A的每條切線都會對應(yīng)于一個以 $F$ 為焦點(diǎn)，過 $P$ 且以該切線為準(zhǔn)線的等軸雙曲線）．另外，這些準(zhǔn)線還可由以 $F$ 為位似中心的旋轉(zhuǎn)位似變換對應(yīng)到漸近線的位置（其中旋轉(zhuǎn)角分別為 $%5Cpm%2045%5E%5Ccirc$ ，位似比為 $%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt2%7D$ ）．故此類雙曲線其漸近線分別切于兩個由 $%5Comega$ 經(jīng)相同的位似變換對應(yīng)而來的圓．（見圖5.1）