前言：此專欄經(jīng)觀看一位數(shù)學(xué)愛好者的視頻后有感而發(fā)，以下是我對視頻內(nèi)容作的個人探究

(原視頻詳見:BV1S34y1Y7Tb)

由于視頻很火，所以在我的整活視頻下面看到，另一個《電搖物理》的整活視頻也是。(也有點變向夸自己的視頻也比較火的意思吧hh[doge])

既然出現(xiàn)很多次，那干脆對其研究一番。

如圖所示，設(shè)y軸左側(cè)為置物區(qū)，y軸右側(cè)為成像區(qū)

在置物區(qū)取一置物點為

其在y軸上的投影點為

則光線所在直線方程為：①

光線所在直線方程為:②

兩直線交點即成像點

聯(lián)立①②解得：

(1)

即

因此，若已知置物點坐標(biāo)(即已知)，代入(1)式則可求得對應(yīng)的唯一的一個成像點坐標(biāo)

而若已知成像點坐標(biāo)，則可通過(1)式解方程得出對應(yīng)的置物點坐標(biāo)(將用表示)

由得，

代入得，，解得：

即(2)

因此，若已知成像點坐標(biāo)(即已知)，代入(2)式則可求得對應(yīng)的唯一的一個置物點坐標(biāo)

上述即證明置物點和成像點有一一對應(yīng)的關(guān)系(數(shù)學(xué)上稱為一種映射)

若置物點在一約束軌跡上運動，則滿足

根據(jù)上述結(jié)論可知成像點也在另一約束軌跡上運動，求這一軌跡需求得之間的關(guān)系式

而已知這一關(guān)系式，若將用表示，則找到了之間的關(guān)系式，即找到了軌跡方程

由(2)式得，，則

因此成像點在約束軌跡上運動

上述求解過程運用的是相關(guān)點法

下面拿視頻中現(xiàn)成的題實踐下

1.設(shè)f=5，置物軌跡為一矩形，

其方程為：

(ps:這個方程可由經(jīng)線性變換和平移變換得到，這里不作討論重點)

則成像軌跡需將換成,將換成

得到成像軌跡方程：

圖像如下：

2.設(shè)f=5，置物軌跡為一圓，

其方程為：

則成像軌跡需將換成,將換成

得到成像軌跡方程：

經(jīng)化簡(可跳過)

得：

這是個經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)型橢圓經(jīng)平移得到的橢圓

圖像如下：

對于相關(guān)點法，若感興趣，可嘗試按如下的思路進(jìn)行理解：

(不完全是自己想出來的，但至少獨立思考占比較大)

已知一置物點，將其作變換可得成像點

則將運動軌跡上的所有點做這一變換，所有變換后的點即構(gòu)成運動軌跡

若我們采用逆向思維，我們便會上述方法的精妙之處

作變換可得，那么作逆變換則可得

也就是說，運動軌跡是滿足作逆變換后落在軌跡上的點集合

換而言之，若一個點經(jīng)這一逆變換后落在軌跡上，則這個點在的運動軌跡上

那么思路就瞬間清晰了，設(shè)

對其作逆變換，得

P點在軌跡上，則

如上則是對相關(guān)點法本質(zhì)的剖析。

相關(guān)點法就是用于求與某一點集相關(guān)聯(lián)的另一點集軌跡的方法

相關(guān)關(guān)系可視為一個可逆的變換

為找到這一約束關(guān)系，我們需要設(shè)點P(x,y)，先對其作逆變換，再將其代入原點集的軌跡方程即可得出變換后的軌跡方程。這里運用了一個很絕妙的思維——逆向思維！

下面是主旨升華(題外話)部分（部分參考原up主）

本以為此研究只是得出一個毫無意義的結(jié)論，殊不知此能發(fā)掘出一系列的美妙的數(shù)學(xué)知識。這一過程于我而言受益匪淺，既滿足了求知欲獲得了成就感，又對所學(xué)知識進(jìn)行了實踐應(yīng)用，由此看來“意義”一詞更適合自定義。熱愛之事由自己賦予價值和意義！