物象基本概念

# 光學(xué)的兩個難點

• 新定義多
• 光學(xué)近似（沒有近似，不成光學(xué)）

關(guān)于近似在電磁學(xué)3P視頻里有介紹

# 物與像的基本慨念

• 物： 光源
• 像： 光源經(jīng)過光學(xué)介質(zhì)匯聚的點

## 虛物與實物、虛像與實像

### 像的虛實

• 實像：實際光線的交點
• 虛像： 光線的反向延長線的交點

FAQ: 虛像為什么能被人眼看到？

人眼類似與一個光屏，但其加了一個透鏡，之后會章節(jié)會討論

### 物的虛實

• 實物：實際由光發(fā)出
• 虛物：入射光線的正向延長線的交點

### 虛實的判斷的總結(jié)

出射光與入射的角度：

• 物，由入射光線判斷
• 像，由出射光線判斷

無法由物的虛實推斷像的虛實，反之亦如此【在逐次成像章節(jié)會有討論】

情況1：實物經(jīng)過光學(xué)儀器匯聚形成實像【下圖中上圖】

情況2： 實物經(jīng)過光學(xué)儀器發(fā)散形成虛像【下圖中下圖】

情況3：虛物經(jīng)過光學(xué)儀器匯聚形成實像【下圖中上方】

情況2： 虛物經(jīng)過光學(xué)儀器發(fā)散形成虛像【下圖中下方】

僅通過像或物的虛實狀況無法推知另外一方的狀況，因為，二者之間依賴光學(xué)儀器的性質(zhì)

# 物方與像方

## 判斷方式1：物與像

• 物體：實物/虛物所在的一側(cè)
• 像方：虛像或?qū)嵪袼谝粋?cè)

## 判斷方式2：入射與出射

該方式判斷存在錯誤的點方后面會更正

如下圖；

上方圖，左側(cè)為物方，右側(cè)為像方

下方圖，左側(cè)為像方，右側(cè)為物方

### 物方與像方的名詞

• 物方： 又稱物空間
• 像方： 又稱像空間

# 物與像的性質(zhì)

## 物象的共軛性

物象的共軛性：由光路的可逆性的推出

物象為可逆映射

## 物象等光程性

光線的起終點一致的光程也相等，不因光學(xué)儀器的存在而改變。在下圖中光源經(jīng)過透鏡匯聚到終點，芮苒存在各路不同的路線，但廣成是相等的【在干涉中會講到】

補(bǔ)充：虛物與虛像的光程計算的問題

因Q點為虛物，因而需要取負(fù)號

其中折射率為n

虛像同理

# 物象基本概念章節(jié)小結(jié)

球面折射成像

# 球面折射成像

如下圖：已知物距S 和像距 S,圖中為一三維半球面，半徑為 r，球心在o位置處,求出物距 S 與像距 S' 關(guān)系

外部光線的折射率為n,球面的內(nèi)部折射率為n'

已知如下圖所示

## 球面折射的求解思路與過程

由ΔQOM與ΔQ'OM中由正弦定理，可得

余弦定理可得

下圖中的下方公式圖中缺少cosφ項

由折射定理可得

考慮外角關(guān)系可得

## 球面折射方程組求解的目的

求出物距 S 與像距 S' 關(guān)系，使得表達(dá)式中僅僅可能少的出現(xiàn)變量，未知量

可得的表達(dá)式為

### 傍軸近似

光路由主軸的夾角比較小，如下圖所示

sin^2 φ為二階小量因而身軀

則可得

整理化簡可得，球面折射關(guān)系表達(dá)式

注意：上式為一般值的球面折射公式，某些情概況為特殊情況的取值。

### 公式比較

下面為球面折射原表達(dá)式

• 更為簡單，方便書寫
• 相比于原表達(dá)式，折射公式保證像值唯一

如下圖，像值隨著φ的不同而反復(fù)波動

# 球面折射公式的符號法則

FAQ:幾何光學(xué)為什么需要探討公式的負(fù)號法則？

目的統(tǒng)一公式的表達(dá)，達(dá)到形式的統(tǒng)一

## 物距S與像距S'的負(fù)號

實正虛負(fù)：實物‘/虛物取正，虛物/虛像取負(fù)值

如下圖

## 半徑r的負(fù)號法則

其中頂點A，球心為O

# 球面折射公式的焦點問題

焦點：平行光經(jīng)過光學(xué)儀器之后的匯聚點，如下圖

## 區(qū)分物方焦距與像方焦距的關(guān)系

物方焦距 f 與像方焦距 f' 一般情況不對稱，如下圖

### 像方焦距S'

與球面折射公式可得，

### 物方焦距S'

如下圖

由球面折射公式可得

### 物方焦距f與像方焦距f'的比較

可得物方焦距f與像方焦距f'的關(guān)系

### 球面折射公式的焦距表述式

#### 焦距形式的球面折射公式的符號法則

#### 更正物方與像方的判斷方式二

物方與像方的判斷方式二【P1:物象的基本概念】：

• 出射為物方
• 入射為像方

存在以下例外，因而為錯誤的判斷方式

應(yīng)該使用第一種判斷方式

• 物方：物所在的一側(cè)
• 像方：項所在的一側(cè)

#### 物方與像方與焦距的負(fù)號的關(guān)系

# 球面折射的章節(jié)小結(jié)

透鏡折射與球面反射

# 透鏡

## 透鏡分類

從功能區(qū)別

• 凸透鏡：匯聚透鏡
• 凹透鏡： 發(fā)散透鏡

# 透鏡折射

已知條件如下

筑起這里的外界為指定的空氣介質(zhì)

由球面折射公式可得

求解上圖的方程組可得以下表達(dá)式

注意上圖中 d (....) 表示 厚度d * (省略的式子）

## 透鏡折射的公式求解

### 薄透鏡近似

近似可得

### Gauss透鏡公式——透鏡折射公式的焦距形式

焦距的定義式

在透鏡折射公式中

左側(cè)的公式在應(yīng)用物方焦距 f 和像方焦距 f'二者等效，易知 物方焦距 f = 像方焦距 f'

則可得

#### Gauss透鏡公式的負(fù)號法則

半徑r的判定與球面折射一致

其中頂點A，球心為O

#### Gauss公式判斷焦距

一般 n - 1 > 0

可得，

• 凹透鏡：發(fā)散透鏡，焦距f < 0
• 凸透鏡：匯聚透鏡， 焦距 f > 0

注意i：測焦距 f 整個透鏡的焦距，必須是薄透鏡

# 薄透鏡的性質(zhì)

## 物距與像距

物距 S2 ≈ - 像距S1'

## 特殊條件的透鏡公式

外界為空氣介質(zhì)的薄透鏡，則有

該公式的法號法則，即物距/像距，為實正虛負(fù)

• 透鏡的畫法

## 牛頓公式

探討：距離物方焦距的x 與距離像方焦距 x'、焦距F的關(guān)系

由薄透鏡焦距形式的公式，可得

### 牛頓公式的符號法則

利用代數(shù)表達(dá)式判斷

定性判斷

# 幾何光學(xué)繪圖

• 平行——過焦點
• 過焦點——平行
• 過中心方向不變

## 特殊光路的畫法

• 凸透鏡畫法

注意虛像/虛物的畫法

• 凹透鏡的畫法

## 透鏡成像的小結(jié)

• 實物---（凹透鏡）---> 虛像

證明如下

下式中實物因而物距S > 0，凹透鏡 焦距 f < 0

因而可知其像距 S' < 0 才能使燈飾成立

• 實物---（凸透鏡）---> 虛像/實像

因物距S > 0 ， 焦距 f > 0 ，像距 S' 大小取決取物距S 與 焦距 f 的相對大小決定，即

• 物距S在一倍焦距 f 以內(nèi)所稱為虛像， 像距S' < 0
• 物距S 大于一倍焦距 f 則所成為實像，即像距S' > 0

## 一般光路的畫法

### 光學(xué)概念

• 副光軸： 過透鏡中心的任意一條線，區(qū)別于主光軸
• 焦平面： 過焦點垂直與主光軸的平面
• 副焦點： 副光軸與焦平面的焦點

### 一般作圖規(guī)律

• 平行與副光軸——過副焦點
• 過副焦點 —— 平行于副光軸

如下圖，作圖

• 凸透鏡

• 凹透鏡

# 透鏡折射小結(jié)

• 透鏡概念
• 透鏡公式： Gauss透鏡公式、特殊條件包透鏡公式、牛頓公式
• 幾何光學(xué)作圖：特殊作圖、一般作圖

# 球面反射

平行主光軸經(jīng)過球面反射，在主光軸的位置x的表達(dá)式

## 傍軸近似

即入射光里主光軸很近，則入射角 i => 0

可得

由此可得

### 符號判斷

• 當(dāng) R < 0 (球心在頂點A的左側(cè))，起到匯聚的交過，則此時 焦距 f > 0
• 當(dāng) R > 0 (球心在頂點A的右側(cè))，起到發(fā)散的交過，則此時 焦距 f < 0

可得，帶符號的式子

由特殊的薄透鏡公式，可得

公式的符號法則

• 物距/像距S'： 實正虛負(fù)
• 半徑R: 球心在頂點在左側(cè)時， R < 0;球心在頂點在右側(cè)時， R > 0

## 球面反射的成像作圖問題

焦點F位于R/2處

• 過焦點——平行
• 平行——過焦點
• 過中心不變

### 特殊情況作圖

• R < 0時

• R > 0時

# 光學(xué)儀器的放大率M

## 分類

• 橫向放大率
• 視角放大率（up 不講）

## 橫向放大率

### 橫向放大率的符號法則

### 放大率與像的正倒

### 橫向放大率的測量

由陰影部分的三角形為相似三角形

可得，并注意符號的問題

可得

• 另一種測量方法

逐次成像

# 逐次成像的定義

【個人】物、像在經(jīng)過的光學(xué)儀器中迭代出現(xiàn)

各次成像的銜接，該表達(dá)式可由透鏡折射公式中使用到，區(qū)別在于薄透鏡的厚度為d, 即為下式中的 dn，薄透鏡d => 0

## 簡單的逐次成像

• 實像---實物

易得

• 虛像----實物

由符號法則，即物像實正虛負(fù)法則

二次成像的物距S2的符號判斷問題

此處物距S2取正值，因其相對與光學(xué)儀器2為實物，因而取正數(shù)。物像的判斷依賴光學(xué)儀器

FAQ:是不是一次成虛像二次成像為實物呢？

部隊的，如下圖

易知一次成像對于光學(xué)儀器1為虛像，像距S'1 < 0, 二次成像對于光學(xué)儀器為虛物，物距S2 < 0(實正虛負(fù))

前一次的像虛實與二次成像的物虛實無必然聯(lián)系，因為二者所依賴的光學(xué)儀器性質(zhì)，物像距不一定一樣。具體而言，一次成像的像虛實依賴物距與光學(xué)儀器的性質(zhì)（匯聚、發(fā)散）有關(guān)，而二次成像的物虛實依賴與另一光學(xué)儀器的物距有光

## 逐次成像的放大率

總放大率M = 各次成像的放大率 Mi 的累乘

## 平面折射的逐次成像

由球面折射公式，可得，又知該球面半徑r => ∞

即可知，定性：實物成虛像，虛物成實像

# 例題：逐次成像

## 例1：求解像的位置與大小【放大率】

易知空氣的折射率n為 1，由透鏡折射公式可得

做出光路圖

由逐次成像的銜接距與物象距的關(guān)系，可得二次成像的物距S2為 -5 cm

由薄透鏡的焦距形式的球面折射公式【P2：薄透鏡與球面反射】，可得二次成像的像距S'2 = 10 cm

畫出光路圖

• 求解放大率

## 例2：牙形透鏡問題

注意以下題目，在評論區(qū)被討論較多的：是否需要考慮鍍銀面反射之后是否需要考慮折射？最后像的位置是否在右側(cè)？

里側(cè)半徑為r,外側(cè)半徑為3/4r的透鏡，外側(cè)讀了一層銀，即為反射鏡，求出h所成像的位置，像的虛實，大?。ǚ糯舐剩?/p>

由球面折射公式可得，半徑 r1在頂點的左側(cè)，取負(fù)號

代入，可求出一次成像的像距S'1為 -1.5r

二次成像，由球面折射公式與銜接距（薄透鏡厚度d取為0），可得二次成像的像距S'2為 - 3r

三次成像，由球面反射公式與銜接距（薄透鏡厚度d取為0），可得三次成像的像距S'3為 3/7 r

結(jié)果為

### 求牙形透鏡的放大率

利用薄透鏡的特性，可得

### 疑問：鍍銀反射

在上面的計算的過程中，將外側(cè) 3/4r圓弧分為兩部分，折射和反射，是否可以當(dāng)成鍍銀面只有反射？

up主認(rèn)為在鍍銀面需要考慮折射過程折射過程，因為光線需要從玻璃面從射出，之后才被反射

### 拓展：動點問題

# 逐次成像章節(jié)總結(jié)

生活中的光學(xué)儀器

# 投影儀

## 投影儀的 放大率

當(dāng)投影儀的放大率取最大值時

# 照相機(jī)

## 成像公式的討論——像大小

可得，放大與縮小的情況

• 2倍焦距外，縮小
• 1倍焦距 f 至 2 倍焦距， 為放大

## 景深

景深：物的范圍

## 人眼

• 近視

• 遠(yuǎn)視

### 一些名詞

• 名師距離：眼睛不用體哦阿姐也能清楚看到的距離

• D度

# 顯微鏡與望眼鏡

## 顯微鏡

放大率

英雌盡量使得武警盡量離光差物體近一點，使得一次成像里目鏡的焦點更近，產(chǎn)生更大的放大率

## 望遠(yuǎn)鏡

# 生活中的光學(xué)儀器章節(jié)小結(jié)

*用費馬原理證明成像公式

# 證明球面折射公式

## 求解光程

做出輔助線

可求出光程L

## 求解光程函數(shù)

幾何關(guān)系可知

將上述關(guān)系式代入原方程中

可得

### 使用等價無窮小近似

用傍軸近似，可知， d => 0

由此可得

這里有兩部分

第一部分

第二部分，使用d => 0 近似

可得

最終光程L為

### 求解光程L極值

導(dǎo)函數(shù)為

可得最終的墻面折射公式

## 梳理使用費馬原理的求解過程

• 求出光程 L 表達(dá)式
• 消元 ——> 幾何關(guān)系
• 近似?
• 求解全導(dǎo)數(shù)為0

### 近似的過程

采用舍去二階小量的近似

# 費馬原理證明公式小結(jié)